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本书介绍实分析的基本理论。全书共分八章，内容包括：集合与映射，拓扑空间，测度空间，积分，Riesz表示定理与Borel测度的正则性，L^p-空间，赋范线性空间初步理论和Hilbert空间初步理论。本书在选材上注重少而精，集中反映实分析的核心内容。在内容的叙述上，注意由浅入深，循序渐进。本书语言通俗易懂，推理严谨清晰，便于教学和自学。书中各章配有例题和习题，可供读者借鉴和练习。本书可作为大学数学专业硕士生一年级的教材，也可作为数学专业本科生高年级选修课教材。同时，也可供需要分析数学较多的理工科研究生和大学教师、科研工作者参考。

1 集合与映射

1

1.1 集合及其运算

1

1.2 映射

4

1.3 关系，偏序与等价

5

1.4 对等与基数

6

1.5 可数集

9

1.6 连续基数(或称连续统势)

12

第1章习题

15

2 拓扑空间

17

2.1 拓扑空间的概念

17

2.2 邻域及相减概念

20

2.3 网

22

2.4 连续映射

24

2.5 紧空间与局部紧空间

30

2.6 推广的Urysohn引理

36

2.7 紧空间的积，Tychonoff定理

41

第2章习题

42

3 测度空间

45

3.1 可测空间与可测映射

45

3.2 广义实函数的运算，上极限与下极限

53

3.3 测度空间

56

3.4 按测度收敛与几乎处处收敛

63

第3章习题

66

4 积分

68

4.1 正函数的积分

68

4.2 复函数的积分

80

4.3 零测集所起的作用

87

第4章习题

94

5 Riesz表示定理与Borel测度的正则性

97

5.1 线性空间，线性映射与线性泛函

97

5.2 Riesz表示定理

99

5.3 Borel测度的正则性

108

5.4 由Riesz表示定理导出퐑^n上Lebesgue测度

111

5.5 可测函数的连续性

115

第5章习题

119

6 L^p-空间

121

6.1 凸函数与不等式

121

6.2 L^p-空间

126

6.3 连续函数逼近

135

第6章习题

138

7 赋范线性空间初步理论

141

7.1 赋范线性空间的基本概念

141

7.2 Baire纲定理，共鸣定理，开映射与闭图像定理

145

7.3 Hahn-Banach延拓定理

153

第7章习题

161

8 Hilbert空间初步理论

164

8.1 内积空间与Hilbert空间的基本概念

164

8.2 最小范数定理与正交分解定理

167

8.3 规范正交集

172

8.4 L^2[0,2π]的规范正交集

181

第8章习题

185

参考文献

188

符号集

190

索引

192

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书籍介绍

本书介绍实分析的基本理论。全书共分八章，内容包括：集合与映射，拓扑空间，测度空间，积分，Riesz表示定理与Borel测度的正则性，L^p-空间，赋范线性空间初步理论和Hilbert空间初步理论。本书在选材上注重少而精，集中反映实分析的核心内容。在内容的叙述上，注意由浅入深，循序渐进。本书语言通俗易懂，推理严谨清晰，便于教学和自学。书中各章配有例题和习题，可供读者借鉴和练习。本书可作为大学数学专业硕士生一年级的教材，也可作为数学专业本科生高年级选修课教材。同时，也可供需要分析数学较多的理工科研究生和大学教师、科研工作者参考。