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微分方程是带有未知函数及其导数的等式。它是数学理论与其他数学分支、科学和工程实践相结合的桥梁，其目标是利用数学理论解决来源于科学、工程实践等的实际问题。

在现行数学课程中，微分方程常常以常微分方程和偏微分方程两个课程出现。常微分方程基本上只涉及含有未知函数的单变元的导数的微分方程，而偏微分方程涉及含有多变元的未知函数及其偏导数的微分方程。经过长期发展，常微分方程和偏微分方程两个课程各自都已经有了十分完美的教材。然而，大多数常微分方程教材和偏微分方程教材自成体系，很少有作者将两者的内容统一起来，相互呼应和借鉴。但从常微分方程和偏微分方程这种分类方法就不难明白，它们之间存在千丝万缕的联系。例如，Fourier变换和Laplace变换之类的积分变换方法以及Fourier级数之类的级数方法既可以用于常微分方程问题也可以用于偏微分方程问题。另外，很多偏微分方程问题可以通过数学方法转换为常微分方程问题来求解。

为了避免课程之间的重复讲授，同时也为了加深学生对微分方程的整体理解与融会贯通，我们决定把常微分方程和偏微分方程作统一处理，尝试将它们结合起来。经过近5年的教学实践，我们对微分方程课程进行了多次优化与提炼，将使用多年的讲义编写成教材。

本书是整套教材的上册，主要内容涉及常微分方程的古典理论、稳定性理论、定性理论及初步的离散动力系统理论。在本书中，我们力图通过实际例子或重要的应用背景来引入概念和定理，把定理的建立与证明尽可能处理成一个“发现”的过程，这种处理方法将有利于学生创新意识与创新能力的培养。我们还强调一些重要的定义、定理和公式的物理与几何内涵，既强调它们在数学上的作用，也强调它们在物理或几何上的解释。这样做能使得数学专业的学生认识到数学在作为一门自然科学语言使用时所具有的精确描述能力，也能使他们认识到数学应用的广泛性，从而激发学生学习数学的浓厚兴趣；在应用公式解决实际问题时采用数学建模的观点与方法，即强调“分析实际问题（抽象简化）→建立数学模型（转化成数学问题）→获得数学解（应用公式和算法）→解释实际问题（讨论解的合理性）”的解题过程。例如在线性微分方程中，对弹性振子运动的建模与分析，对R-L-C回路中电流随时间变化规律的分析等，这样做将有利于培养数学专业学生对实际问题提炼、抽象成数学问题的能力。

本书在第6章对离散动力系统作了简单介绍，重点是一维映射的性质及不动点与周期轨的讨论。这是因为近年来，离散动力系统发展迅速，其在生态学、计算机网络等领域有大量的应用。而作为数学专业本科生，应该对微分方程学科的最新发展动态与最新研究领域、内容和方法有所了解。

本书第0、1、2、3章由彭临平教授执笔，第4、5、6章由李翠萍教授执笔，全书由郑志明教授、李翠萍教授与郭定辉教授统稿。

虽然本书的每一位编者都长期从事微分方程及相关领域的教学与研究，但是不妥与错误之处在所难免，真诚地希望有关专家、读者给予批评指正。

前辅文

第0章 绪论

§0.1 微分方程的例子

§0.2 微分方程的基本概念

§0.3 微分方程的发展和问题

第1章 初等积分法

§1.1 变量分离方程

§1.2 一阶线性微分方程

§1.3 恰当方程与积分因子

§1.4 一阶隐式方程的解法

§1.5 一阶微分方程的应用

第2章 高阶微分方程

§2.1 线性微分方程的一般理论

§2.2 n阶常系数齐线性微分方程

§2.3 n阶常系数非齐线性微分方程

§2.4 Laplace变换法简介

§2.5 线性微分方程的应用

§2.6 高阶微分方程的降阶法和幂级数解法

第3章 线性微分方程组

§3.1 预备知识

§3.2 线性微分方程组的基本定理

§3.3 一阶齐线性微分方程组

§3.4 一阶非齐线性微分方程组

§3.5 常系数线性微分方程组

§3.6 Laplace变换的应用

第4章 基本定理

§4.1 常微分方程的几何解释

§4.2 解的存在唯一性

§4.3 解的延拓

§4.4 奇解

§4.5 解关于初值和参数的连续依赖性及可微性

§4.6 方程组情形的基本定理

第5章 定性和稳定性理论初步

§5.1 稳定性的概念

§5.2 平面自治系统的基本概念

§5.3 Lyapunov第二方法

§5.4 平面定性理论初步

第6章 离散动力系统简介

§6.1 一维映射

§6.2 多变量函数

§6.3 迭代的几何方法

§*** 转移图与周期点

参考文献

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书籍介绍

微分方程是带有未知函数及其导数的等式。它是数学理论与其他数学分支、科学和工程实践相结合的桥梁，其目标是利用数学理论解决来源于科学、工程实践等的实际问题。

在现行数学课程中，微分方程常常以常微分方程和偏微分方程两个课程出现。常微分方程基本上只涉及含有未知函数的单变元的导数的微分方程，而偏微分方程涉及含有多变元的未知函数及其偏导数的微分方程。经过长期发展，常微分方程和偏微分方程两个课程各自都已经有了十分完美的教材。然而，大多数常微分方程教材和偏微分方程教材自成体系，很少有作者将两者的内容统一起来，相互呼应和借鉴。但从常微分方程和偏微分方程这种分类方法就不难明白，它们之间存在千丝万缕的联系。例如，Fourier变换和Laplace变换之类的积分变换方法以及Fourier级数之类的级数方法既可以用于常微分方程问题也可以用于偏微分方程问题。另外，很多偏微分方程问题可以通过数学方法转换为常微分方程问题来求解。

为了避免课程之间的重复讲授，同时也为了加深学生对微分方程的整体理解与融会贯通，我们决定把常微分方程和偏微分方程作统一处理，尝试将它们结合起来。经过近5年的教学实践，我们对微分方程课程进行了多次优化与提炼，将使用多年的讲义编写成教材。

本书是整套教材的上册，主要内容涉及常微分方程的古典理论、稳定性理论、定性理论及初步的离散动力系统理论。在本书中，我们力图通过实际例子或重要的应用背景来引入概念和定理，把定理的建立与证明尽可能处理成一个“发现”的过程，这种处理方法将有利于学生创新意识与创新能力的培养。我们还强调一些重要的定义、定理和公式的物理与几何内涵，既强调它们在数学上的作用，也强调它们在物理或几何上的解释。这样做能使得数学专业的学生认识到数学在作为一门自然科学语言使用时所具有的精确描述能力，也能使他们认识到数学应用的广泛性，从而激发学生学习数学的浓厚兴趣；在应用公式解决实际问题时采用数学建模的观点与方法，即强调“分析实际问题（抽象简化）→建立数学模型（转化成数学问题）→获得数学解（应用公式和算法）→解释实际问题（讨论解的合理性）”的解题过程。例如在线性微分方程中，对弹性振子运动的建模与分析，对R-L-C回路中电流随时间变化规律的分析等，这样做将有利于培养数学专业学生对实际问题提炼、抽象成数学问题的能力。

本书在第6章对离散动力系统作了简单介绍，重点是一维映射的性质及不动点与周期轨的讨论。这是因为近年来，离散动力系统发展迅速，其在生态学、计算机网络等领域有大量的应用。而作为数学专业本科生，应该对微分方程学科的最新发展动态与最新研究领域、内容和方法有所了解。

本书第0、1、2、3章由彭临平教授执笔，第4、5、6章由李翠萍教授执笔，全书由郑志明教授、李翠萍教授与郭定辉教授统稿。

虽然本书的每一位编者都长期从事微分方程及相关领域的教学与研究，但是不妥与错误之处在所难免，真诚地希望有关专家、读者给予批评指正。