现代***分析和处理 mobi 下载 网盘 caj lrf pdf txt 阿里云

本书系统和深入地介绍了现代数字***分析和处理的基础和一些广泛应用的算法。前4章介绍了研究和学习现代数字***处理的重要基础，包括随机***模型、估计理论概要、*滤波器理论、*小二乘滤波和卡尔曼滤波，这些内容是***处理统计方法的基础性知识；第2部分的4章详细讨论了几类广泛应用的典型算法，包括自适应滤波算法、功率谱估计算法、高阶统计量和循环统计量、***的盲源分离；第3部分包括时频分析、小波变换原理及应用和***的稀疏分析与压缩感知。本书详细的介绍了近年受到广泛关注的一些前沿专题，例如EM算法、粒子滤波、***分量分析、盲源分离的子空间方法、稀疏表示与压缩感知等，空间阵列***处理的一些初步内容会穿插在有关章节，但不单独成章。本书在写作中既注重了内容的先进性和系统性，也注重了内容的可读性。

目录

第0章绪论

0.1本书的主要内容

0.2现代***处理的几个应用实例

0.3对***处理的一些基本问题的讨论

0.4一个简短的历史概述

卷一***处理的统计方法

第1章随机***基础及模型

1.1随机***基础

1.1.1随机过程的概率密度函数表示

1.1.2随机过程的基本特征

1.2随机***向量的矩阵特征

1.2.1自相关矩阵

1.2.2互相关矩阵

1.2.3向量***相关阵

1.3常见***实例

1.3.1***同分布和白噪声

1.3.2复正弦加噪声

1.3.3实高斯过程

*1.3.4复高斯过程

*1.3.5混合高斯过程

1.3.6高斯马尔可夫过程

1.4随机***的展开

1.4.1随机***的正交展开

1.4.2基向量集的正交化

1.4.3KL变换

*1.4.4主分量分析

1.4.5由正交随机序列集表示一个随机***

1.5随机***的功率谱密度

1.5.1功率谱密度的定义和性质

1.5.2随机***通过线性系统

1.5.3连续随机***与离散随机***的关系

1.6随机***的有理分式模型

1.6.1谱分解定理

1.6.2随机***的ARMA模型

1.6.3随机***表示的进一步讨论

1.***自相关与模型参数的关系

*1.6.5ARMA模型的扩展——ARIMA模型

1.7小结与进一步阅读

习题

参考文献

第2章估计理论基础

2.1基本经典估计问题

2.1.1经典估计基本概念和性能参数

2.1.2几个常用估计量

2.2克拉美罗下界

2.3似然估计(MLE)

2.4贝叶斯估计

2.4.1小均方误差贝叶斯估计

2.4.2贝叶斯估计的其他形式

2.5线性贝叶斯估计器

2.6小二乘估计

2.6.1加权小二乘估计

2.6.2正则化小二乘估计

2.6.3复数据的LS估计

*2.7EM算法

2.7.1EM算法的特例和扩展

2.7.2EM算法解高斯混合模型

2.8小结与进一步阅读

习题

参考文献

第3章滤波器

3.1维纳滤波

3.1.1实际问题中的维纳滤波

3.1.2从估计理论观点导出维纳滤波

3.1.3维纳滤波器正交原理

3.1.4FIR维纳滤波器

3.1.5IIR维纳滤波器

3.1.6应用例——通信系统的线性均衡器

*3.2阵列波束形成与维纳滤波

3.2.1阵列波束形成基础知识

3.2.2维纳滤波与波束形成

3.2.3MVDR波束形成器

3.3线性预测

3.3.1前向线性预测

3.3.2后向线性预测

3.3.3LevinsonDurbin算法

3.3.4格型预测误差滤波器

3.3.5预测误差滤波器的性质

*3.4格型滤波器结构的推广

3.4.1AR模型和全极点格型

3.4.2C***sky分解

3.4.3维纳滤波器的格型结构

3.5小二乘滤波

3.5.1LS滤波的边界问题

3.5.2LS的正交性原理

3.5.3小二乘滤波的几个性质

3.5.4小二乘的线性预测

3.5.5正则小二乘滤波

*3.5.6基于非线性函数的小二乘滤波

3.6奇异值分解计算LS问题

*3.7总体小二乘(TLS)

3.8小结和进一步阅读

第3章附录连续时间维纳滤波

习题

参考文献

第4章卡尔曼滤波及其扩展

4.1标量卡尔曼滤波

4.1.1标量随机状态的递推估计

4.1.2与维纳滤波器的比较

4.2向量形式标准卡尔曼滤波

4.2.1向量卡尔曼滤波模型

4.2.2向量卡尔曼滤波推导

*4.3卡尔曼滤波器的一些变化形式

4.3.1针对状态方程不同形式的卡尔曼滤波器

4.3.2卡尔曼预测器

4.3.3卡尔曼信息滤波器

4.3.4稳态卡尔曼滤波器

4.3.5卡尔曼QR分解滤波器

4.3.6简单无激励动力系统

4.4卡尔曼非线性滤波之一： 扩展卡尔曼滤波(EKF)

*4.5卡尔曼非线性滤波之二： 无迹卡尔曼滤波

4.5.1无迹变换(UT)

4.5.2加性噪声非线性系统的UKF

4.5.3一般非线性系统的UKF

4.6贝叶斯滤波

*4.7粒子滤波

4.7.1蒙特卡罗模拟与序列重要性采样

4.7.2粒子滤波算法

4.7.3粒子滤波的改进——高斯粒子滤波

4.8本章小结和进一步阅读

习题

参考文献

第5章自适应滤波器

5.1自适应滤波的分类和应用

5.2陡下降法

5.3LMS自适应滤波算法

5.3.1LMS算法

5.3.2LMS算法的收敛性分析

5.3.3一些改进的LMS算法

*5.3.4稀疏LMS算法

*5.3.5仿射投影算法

5.4递推LS算法(RLS)

5.4.1基本RLS算法

5.4.2RLS算法的收敛性分析

5.5LMS和RLS算法对自适应均衡器的仿真结果

5.6投影算子递推和LS格型滤波器

5.6.1用向量空间算子方法表示LS滤波器

5.6.2投影算子的阶递推公式

5.6.3投影算子的时间递推公式

5.***小二乘格型(LSL)算法

*5.7快速横向LS自适应滤波算法(FTF)

5.7.14个基本滤波器

5.7.2横向滤波器算子的更新

5.7.3FTF算法

*5.8QR分解RLS算法

5.8.1LDU分解RLS算法

5.8.2RLS和卡尔曼滤波的对应关系

*5.9IIR结构的自适应滤波器

*5.10非线性自适应滤波举例

5.11自适应滤波器的应用举例

5.11.1自适应均衡再讨论

5.11.2自适应干扰对消的应用

*5.11.3自适应波束形成算法

*5.12无期望响应的自适应滤波算法举例： 盲均衡

5.12.1恒模算法(CMA)

5.12.2一类盲均衡算法(Bussgang算法)

5.12.3盲反卷算法介绍

5.13小结和进一步阅读

习题

参考文献

第6章功率谱估计

6.1经典谱估计方法

6.1.1周期图方法

6.1.2改进周期图

6.1.3BlackmanTukey方法

6.2AR模型法谱估计

6.2.1熵谱估计

6.2.2AR模型谱估计的协方差方法

6.2.3改进协方差方法

6.2.4自相关方法

6.2.5Burg算法

6.2.6AR模型谱的进一步讨论

6.3系统模型阶选择问题

***MA模型谱估计

6.5ARMA模型谱估计

6.5.1改进YuleWalker方程方法

*6.5.2Akaike的非线性迭代算法

*6.6小方差谱估计

6.7利用特征空间的频率估计

6.7.1Pisarenko谱分解

6.7.2MUSIC方法

6.7.3模型阶估计

*6.8ESPRIT算法

6.8.1基本ESPRIT算法

6.8.2LSESPRIT和TLSESPRIT算法

*6.9空间线性阵列的DOA估计

6.10功率谱估计的一些实验结果

6.10.1经典方法和AR模型法对不同***类型的仿真比较

6.10.2谐波估计的实验结果

6.11小结和进一步阅读

习题

参考文献

第7章超出2阶平稳统计的***特征与应用

7.1***的高阶统计量和高阶谱

7.1.1高阶累积量和高阶矩的定义

7.1.2高阶累积量的若干数学性质

7.1.3高阶谱的定义

7.1.4线性非高斯过程的高阶谱

7.1.5非线性过程的高阶谱

*7.2高阶统计量和高阶谱的估计

7.2.1高阶统计量的估计

7.2.2高阶谱的BR估计

7.2.3高阶谱的间接估计方法

7.2.4高阶谱的应用

*7.3周期平稳***的谱相关分析

7.3.1周期平稳***的概念

7.3.2周期平稳***的谱相关函数

7.3.3通信工程中常见已调***的谱相关函数

7.3.4谱相关函数的估计

*7.4随机***的熵特征

7.4.1熵的定义和基本性质

7.4.2KL散度、互信息和负熵

7.4.3熵的逼近计算

7.5本章小结和进一步阅读

习题

参考文献

第8章***处理的隐变量分析

8.1在线主分量分析

8.1.1广义Hebian算法

8.1.2投影近似子空间跟踪算法——PAST

8.2***向量的白化和正交化

8.2.1***向量的白化

8.2.2向量集的正交化

8.3盲源分离问题的描述

8.4***分量分析——ICA

8.4.1***分量分析的基本原理和准则

8.4.2不动点算法——FastICA

8.4.3自然梯度算法

8.4.4非线性PCA算法

*8.5利用2阶统计的BSS

8.5.1SOBI算法

8.5.2其他2阶统计盲源分离算法简介

*8.6卷积混合盲源分离

8.6.1卷积混合模型

8.6.2卷积混合的分离模型

8.6.3卷积混合的分离算法简介

*8.7其他BSS方法简介

*8.8应用和仿真实验举例

8.9本章小结和进一步阅读

习题

参考文献

卷二时频分析和稀疏表示

第9章时频分析方法

9.1时频分析的预备知识

9.1.1傅里叶变换及其局限性

9.1.2时频分析的几个基本概念

9.1.3框架和Reisz基

9.2短时傅里叶变换

9.2.1STFT的定义和性质

*9.2.2STFT的数值计算

9.3Gabor展开

9.3.1连续Gabor展开

9.3.2周期离散Gabor展开

*9.4分数傅里叶变换

9.4.1FRFT的定义和性质

9.4.2FRFT的数值计算

9.4.3FRFT的应用简述

9.5WignerVille分布

9.5.1连续WignerVille分布的定义和性质

9.5.2WVD的一些实例及问题

9.5.3通过离散***计算WVD

*9.5.4RadonWigner变换

*9.6一般时频分布： Cohen类

9.6.1模糊函数

9.6.2Cohen类的定义与实例

*9.7模糊函数再讨论

9.8小结和进一步阅读

习题

参考文献

第10章小波变换原理及应用概论

10.1连续小波变换

10.1.1CWT的定义

10.1.2CWT的性质

10.1.3几个小波实例

10.1.4Lipschitz指数与小波变换

10.2尺度和位移离散化的小波变换

10.3多分辨分析和正交小波基

10.3.1多分辨分析的概念

10.3.2小波基的构造

10.3.3离散小波变换的Mallat算法

10.4双正交小波变换

10.5小波基实例

10.5.1Daubechies紧支小波

10.5.2双正交小波基实例

10.6多维空间小波变换

10.6.1二维可分小波变换

10.6.2数字图像的小波变换模型

10.7小波包分解

*10.8离散小波变换中的边界问题

*10.9提升和整数小波变换

10.9.1提升小波变换的基本方法

10.9.2构造小波基的提升方法

10.9.3几个提升实现的小波变换的例子

10.9.4整数小波变换

*10.10小波变换应用实例： 图像压缩

10.10.1图像小波变换域的树表示和编码

10.10.2嵌入式小波零树编码

*10.11小波变换的其他应用

10.11.1小波消噪

10.11.2其他应用简介

10.12小结和进一步阅读

习题

第10章附录子带编码

参考文献

*第11章***的稀疏表示与压缩感知

11.1***稀疏表示的数学基础

11.1.1凸集和凸函数

11.1.2范数

11.1.3矩阵的零空间和稀疏度

11.2***的稀疏模型实例

11.2.1压缩感知问题

11.2.2套索回归问题——LASSO

11.2.3不同稀疏问题的比较

11.3***的稀疏模型表示

11.4稀疏恢复的基本理论

11.4.1(P0)解的性

11.4.2(P1)解的性

11.4.3(Pε1)问题的解

11.5压缩感知与感知矩阵

11.6稀疏恢复算法介绍

11.6.1贪婪算法

11.6.2LAR算法

11.6.3Lasso的循环坐标下降算法

11.***近邻方法和迭代收缩算法

11.6.5迭代加权小二乘算法——IRLS

11.6.6在线稀疏恢复算法

11.7***稀疏恢复的几个应用实例

11.8本章小结和进一步阅读

习题

参考文献

附录A矩阵论基础

附录B优化方法概要

缩写词

索引

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第3章滤波器本章讨论从统计意义上的滤波问题或波形的线性估计问题。首先讨论对于平稳随机***的维纳(Wiener)滤波器的设计，紧接着讨论一种特殊的维纳滤波器，一步线性预测，通过前向线性预测和后向线性预测的对称关系，导出了求解YuleWalker方程的快速递推算法，并由此导出格型滤波器结构。接着讨论在有限数据集条件下的小二乘滤波器(LS)，这是一种易于实现的有效滤波器并具有统计上的性，并介绍求解LS问题的奇异值分解(SVD)算法。3.1维纳滤波维纳滤波器是统计意义上的滤波,或者等价地说是波形的线性估计，它要求输入***是宽平稳随机***。本章针对离散***情况，详细讨论FIR结构和IIR结构的维纳滤波器，在附录中给出了连续***维纳滤波器的概要介绍。

由***当前值及它的各阶位移{x(n-k)}∞k=-∞，估计一个期望***d(n)，输入***x(n)是宽平稳的，x(n)和d(n)是联合宽平稳的,要求这个估计的均方误差小，这就是维纳滤波器，它实质上是一个波形估计问题。为了方便，本章假设所涉及的***都是0均值。3.1.1实际问题中的维纳滤波初看起来，维纳滤波器有些抽象，用一个输入***估计一个期望响应，期望响应是什么？通过如下几个来自于实际的应用实例，来理解维纳滤波器是对许多不同应用问题的抽象，从而构成了滤波器的基础框架。1. 通信的信道均衡器在通信系统中，为了在接收器端补偿信道传输引入的各种畸变，在对接收***进行检测之前，通过一个滤波器对信道失真进行校正，这个滤波器称为信道均衡器。为了说明均衡器问题，这里只简单地讨论基带传输，忽略通信系统中的调制解调和各种编解码过程，设通信系统的发射端发送序列s(n)，通过信道传输，在接收端的滤波器输入端得到因信道不理想而发生了失真的***x(n)，x(n)可能包含了信道不理想产生的畸变和加性噪声，例如无线通信系统中的多径效应和环境噪声。x(n)作为维纳滤波器的输入***，通过确定滤波器的权系数，使得滤波器的输出s′(n)尽可能逼近于一个期望***d(n)，也就是发送序列的延迟s(n-k)。采用均方误差小准则设计滤波器系数，使估计误差e(n)=d(n)-s′(n)的均方误差值小。见图3.1.1。

图3.1.1信道均衡器的结构示意

2. 系统辨识系统辨识的问题是： 有一个系统是未知的或需要用一个LTI系统进行模型化，设计一个线性滤波器尽可能精确地逼近这个待处理系统。维纳滤波器实现一个从统计意义上的对未知系统的逼近。图3.1.2示出一个实现系统辨识的原理框图。使维纳滤波器和未知系统使用同一个输入***x(n)，未知系统的输出作为维纳滤波器的期望响应d(n)，设计滤波器系数使得滤波器输出y(n)与期望响应d(n)之间的估计误差的均方值小。

图3.1.2线性系统辨识的结构

3. 线性预测通过一个随机***已存在的数据{x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)}来预测一个新值x(n)，这是一步前向线性预测问题，由{x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)}的线性组合得到对x(n)的估计，相当于设计一个FIR滤波器对{x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)}进行线性运算，来估计期望响应d(n)=x(n)，维纳滤波器是用于设计均方误差小的预测器。通过如上几个例子，可以抽象出一种有用的滤波器结构，这就是维纳滤波器。维纳滤波器的一般结构示于图3.1.3，滤波器自身是一个FIR或IIR滤波器，滤波器输入***x(n)，输出y(n)，有一个待估计的期望响应d(n)，滤波器系数的设计准则是使得滤波器的输出y(n)(或写成d^(n))是均方意义上对期望响应的线性估计。

图3.1.3维纳滤波器的一般结构

维纳滤波器的目的是求滤波器系数wo=［…,wo,0,wo,1,…,wo,k,…］T，使

J(n)=E［|e(n)|2］=E［|d(n)-d^(n)|2］(3.1.1)

小。当滤波器系数有无穷多个(即单位抽样响应无限长)时，对应IIR结构的维纳滤波器，当滤波器系数为有限个时，对应FIR结构的维纳滤波器。FIR结构的维纳滤波器的滤波部分的示意图如图3.1.4所示，在***处理的文献中，也常称这个结构为横向滤波器。

图3.1.4维纳滤波的横向滤波器

3.1.2从估计理论观点导出维纳滤波将存在有限个观测数据情况下的线性贝叶斯估计的结论，用于波形的估计，可以直接得到FIR结构的维纳滤波器，这表明维纳滤波器是波形的线性贝叶斯估计。为简单起见，先讨论实***的情况。将线性贝叶斯估计推广到波形估计的情况。在n时刻，由输入x(n)及其延迟量{x(n-1),x(n-2),…,x(n-M 1)}作为观测值，估计期望***的波形在n时刻的值d(n)，确定权系数w=［w0,w1,…,wM-1］T，使估计误差均方值小，即在权系数取wo时

J(n)=E［(d(n)-d^(n))2］(3.1.2)

达到小，这里波形估计d^(n)写为

d^(n)=∑M-1i=0woix(n-i)=wTox(n)(3.1.3)

其中

wo=［wo0,wo1,…，wo(M-1)］T(3.1.4)

x(n)=［x(n),x(n-1),…，x(n-M 1)］T(3.1.5)

对一个固定时间n，波形的瞬时估计与随机参数的线性贝叶斯估计是完全相同的问题，利用式(2.5.10)，时刻n的波形估计器的系数满足如下方程

R(n)wo=rxd(n)(3.1.6)

这里

R(n)=E［x(n)xT(n)］

=r(n,n)r(n,n-1)…r(n,n-M 2)r(n,n-M 1)r(n-1,n)r(n-1,n-1)…r(n-1,n-M 2)r(n-1,n-M 1)r(n-M 2,n)r(n-M 2,n-1)…r(n-M 2,n-M 2)r(n-M 2,n-M 1)r(n-M 1,n)r(n-M 1,n-1)…r(n-M 1,n-M 2)r(n-M 1,n-M 1)(3.1.7)

rxd(n)=E［x(n)d(n)］=［rxd(n,n),rxd(n-1,n),…,rxd(n-M 1,n)］T(3.1.8)

在一般情况下，对于不同时刻n，权系数不同，因此，需要对每个时刻重新计算权系数。当输入***x(n)是一个宽平稳随机***，并且x(n)和d(n)是联合平稳时，上述自相关矩阵和互相关向量简化为

R(n)=R=rx(0)rx(1)…rx(M-1)rx(-1)rx(0)…rx(M-2)rx(-M 1)rx(-M 2)…rx(0)(3.1.9)

和

rxd(n)=rxd=［rxd(0),rxd(-1),…,rxd(-M 1)］T(3.1.10)

权系数满足的方程简化为

Rwo=rxd(3.1.11)

注意，权系数是个确定性的量，不是随机量。对每个时刻n，d(n)的估计值d^(n)相当于图3.1.4线性时不变滤波器的输出。小均方估计误差为

Jmin=σ2d-rTxdR-1rxd(3.1.12)

从维纳滤波器是线性贝叶斯波形估计的观点，需注意如下几点。(1) 在均方误差意义上，维纳滤波器是线性FIR滤波器中的滤波器，但可能存在一些非线性滤波器能达到更好结果。(2) 在x(n)和d(n)是联合高斯分布条件下，维纳滤波也是总体的，不存在非线性滤波器能达到更好的结果。(3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非的任意权系数w时，其误差性能表达式为

J(w)=σ2d-wTrxd-rTxdw wTRw(3.1.13)

它是w的超二次曲面，当自相关矩阵R是正定矩阵时，该曲面只有一个小点，当w=wo时J(w)=Jmin。3.1.3维纳滤波器正交原理维纳滤波器是一个线性滤波器，图3.1.3是一个一般表示框图，滤波器核是IIR或FIR的，在实***情况下，已经导出了求解FIR型维纳滤波器的方程。在第2章讨论了线性估计的正交性原理，第2章的正交原理是由线性估计方程导出的。在线性滤波器理论中，正交原理是一个基本分析工具，由正交原理出发，很容易导出线性估计和维纳滤波器的方程式。由于正交原理应用的广泛性和简洁性，并且贯穿于平稳、非平稳和有限数据等多种情况，在本节，对复***的一般情况，重新导出正交原理的一般形式，并利用正交原理，重新推导复***情况下维纳滤波器的一般方程。先推导适应于IIR和FIR的一般结论，然后分别讨论FIR和IIR。将一般的复数形式维纳滤波器的问题重新描述如下。设输入随机过程x(n)为复***，由{x(n-k)}∞k=-∞估计期望响应d(n)，求复数权系数…,wo(-1),wo0,wo1,wo2,…，使输出误差e(n)=d(n)-y(n)的均方值小。如下推导一般的正交性原理，实数据是特例。在复***的一般情况下滤波器输出和估计误差分别写为

y(n)=∑ ∞k=-∞w*kx(n-k)(3.1.14)

e(n)=d(n)-y(n)(3.1.15)

均方误差表示为

J(w)=E{|e(n)|2}=E{e(n)e*(n)}(3.1.16)

设滤波器权系数是如下复数形式

wk=ak jbk(3.1.17)

定义针对滤波器系数向量的梯度算子为

=［…,0,1,…,k,…］T(3.1.18)

其中针对参数wk的梯度算子为

k=w*k=ak jbk(3.1.19)

为求解滤波器的权系数，将梯度算子作用于均方误差J(w)，并令其为零。其中第k项为

kJ(w)=J(w)ak jJ(w)bk(3.1.20)

求参数…,w-1,w0,w1,…的值，使得J(w)小，即使得

J(w)=0(3.1.21)

或等价地每个分量

kJ(w)=0k=…,-1,0,1,2,…(3.1.22)

将J(w)=E{e(n)e*(n)}代入梯度算子定义式(3.1.20)，得到

kJ(w)=Ee(n)ake*(n) e*(n)ake(n) e(n)bkje*(n) e*(n)bkje(n)(3.1.23)

由

e(n)=d(n)-∑∞k=-∞w*kx(n-k)(3.1.24)

得到

e(n)ak=-x(n-k)(3.1.25)

e(n)bk=jx(n-k)(3.1.26)

e*(n)ak=-x*(n-k)(3.1.27)

e*(n)bk=-jx*(n-k)(3.1.28)

将如上各项代入kJ(w)表达式(3.1.23)，整理得

kJ(w)=-2E［x［n-k］e*［n］］k=…,-1,0,1,…(3.1.29)

当

kJ(w)=0k=…,-1,0,1,…(3.1.30)

时，J(w)达到小。设J(w)达小时，用wo,eo(n)表示权系数和误差e(n)，即当

J(w)=Jmin(3.1.31)

时，满足

E［x(n-k)e*o(n)］=0，k=…,-1,0,1,…(3.1.32)

或等价地

E［x*(n-k)eo(n)］=0，k=…,-1,0,1,2…(3.1.33)

以上两式为一般的正交性原理： 滤波器达到时，误差和输入***正交。正交性原理的一个直接推论是，滤波器达到时，输出和误差也是正交的，即

E［yo(n)e*o(n)］=0(3.1.34)

注意到，在正交性原理式(3.1.32)中，输入***的各阶位移x(n-k)与eo(n)正交，式(3.1.32)所表示的正交方程数目与滤波器权系数…,w-1,w0,w1,…数目是一致的，即维纳滤波器有多少个权系数，式(3.1.32)就包含多少个正交方程式。现在通过正交性原理，导出更一般的维纳滤波器的设计方程，即维纳霍夫方程(WienerHopf)。由正交性原理

E［x(n-k)e*o(n)］=0k=…,-1,0,1,2…(3.1.35)

代入误差的表达式(3.1.24)到式(1.1.35)，得

Ex(n-k)d*(n)-∑∞i=-∞woix*(n-i)=0k=…,-1,0,1,2…(3.1.36)

交换求期望和求和次序，将如上方程展开为

∑∞i=-∞woiEx(n-k)x*(n-i)=E［x(n-k)d*(n)］k=…,-1,0,1,2…(3.1.37)

由自相关和互相关的定义

rx(i-k)=E［x(n-k)x*(n-i)］(3.1.38)

rxd(-k)=E［x(n-k)d*(n)］(3.1.39)

代入式(3.1.37)得到

∑∞i=-∞woirx(i-k)=rxd(-k)k=…,-1,0,1,2…(3.1.40)

式(3.1.40)称为维纳霍夫方程，解此方程，可得到权系数{woi,i=…,-1,0,1,2,…}。式(3.1.40)是维纳滤波器的一般方程，根据滤波器权系数是有限个还是无限个可以分别设计FIR和IIR型维纳滤波器。3.1.4FIR维纳滤波器对于M个系数FIR滤波器(横向滤波器)，只有M个权系数{woi,i=0,1,…,M-1}非零，维纳霍夫方程简化为有限个未知量的线性方程组，即式(3.1.40)简化为

∑M-1i=0woirx(i-k)=rxd(-k)，k=0,1,…，M-1(3.1.41)

更方便的是写成矩阵形式。令

R=E［x(n)xH(n)］

=rx(0)rx(1)…rx(M-1)r*x(1)rx(0)…rx(M-2)r*x(M-1)r*x(M-2)…rx(0)(3.1.42)

和

rxd=E［x(n)d*(n)］=［rxd(0),rxd(-1),…,rxd(1-M)］T(3.1.43)

维纳霍夫方程的矩阵形式写

Rwo=rxd(3.1.44)

解方程求得

wo=R-1rxd(3.1.45)

这个关系式与通过线性贝叶斯波形估计得到的结论是相同的。下面用正交性原理，导出一般复***情况下维纳滤波器的小均方误差公式。在达时，yo(n)也写成： d^(n|Xn)，意指由x(n),x(n-1),…,x(n-M 1)张成的线性空间Xn对d(n)的估计。估计误差为

eo(n)=d(n)-yo(n)=d(n)-d^(n|Xn)(3.1.46)

也可以写成

d(n)=eo(n) d^(n|Xn)(3.1.47)

由正交性原理的推论，d^(n|Xn)和eo(n)是正交的，因此

σ2d=E［|eo(n)|2］ σ2d^=Jmin σ2d^(3.1.48)

即

Jmin=σ2d-σ2d^(3.1.49)

由

d^(n|Xn)=∑M-1k=0w*okx(n-k)=wHox(n)(3.1.50)

得

σ2d^=E［d^(n|Xn)d^*(n|Xn)］=E［wHox(n)xH(n)wo］

=wHoE［x(n)xH(n)］wo

=wHoRwo=wHorxd=rHxdwo=rHxdR-1rxd(3.1.51)

将式(3.1.51)代入式(3.1.49)得

Jmin=σ2d-σ2d^=σ2d-rHxdwo=σ2d-rHxdR-1rxd(3.1.52)

由正交原理导出的维纳滤波器和从线性贝叶斯估计得到的维纳滤波器,分别得到一些有益的启示。从估计理论看,维纳滤波器只是一个线性贝叶斯估计,它是估计的一个线性逼近,只有在高斯情况下,它才是真正的滤波器,在其他分布情况下,非线性滤波器可能达到比线性滤波器更优的结果。从一般线性滤波器的正交原理出发,我们容易忽视这些限制。为了后续导出自适应滤波器的需要(第5章)，导出在复***的一般情况下的误差性能表面。上面的讨论集中在滤波器的权系数设计和达到时均方误差的结果。讨论在滤波器权系数未取值时，滤波器的均方误差怎样随滤波器系数的不同取值而变化的规律是有意义的，对导出自适应滤波算法有指导作用。假设滤波器取一组任意权系数，对期望响应的估计误差为

e(n)=d(n)-∑M-1k=0w*kx(n-k)(3.1.53)

直接代入

J(w)=E［e(n)e*(n)］(3.1.54)

整理得： 

J(w)=σ2d-∑M-1k=0w*krxd(-k)-∑M-1k=0wkr*xd(-k) ∑M-1k=0∑M-1i=0w*kwirx(i-k)(3.1.55)

由上式，可以看出，J(w)是wk的二次曲面，由于2次项的系数是一个半正定序列，因此二次曲面是一个碗状曲面，碗口向上，若自相关矩阵是正定的，则Jmin在碗底且，其实，由上式直接对各wk求导，并令其为0，得到一组方程，正是维纳霍夫方程。上式也可以直接写成矩阵形式

J(w)=σ2d-wHrxd-rHxdw wHRw(3.1.56)

它可以整理成如下形式： 

J(w)=σ2d-rHxdR-1rxd (w-R-1rxd)HR(w-R-1rxd)(3.1.57)

上式在w0=R-1rxd时，达到小，且小值为

Jmin=minwJ(w)=σ2d-rHxdR-1rxd(3.1.58)

式(3.1.58)与式(3.1.52)的结果是一致的。性能表面J(w)也可以写成

J(w)=Jmin (w-w0)HR(w-w0)(3.1.59)

利用自相关矩阵的特征值分解式

R=QΛQH(3.1.60)

得到

J(w)=Jmin (w-w0)HQΛQH(w-w0)(3.1.61)

令

?瘙經=QH(w-w0)(3.1.62)

上式可写成

J(w)=Jmin ?瘙經HΛ?瘙經=Jmin ∑Mk=1λkvkv*k=Jmin ∑Nk=1λk|vk|2(3.1.63)

这里，?瘙經是w的坐标变换，由w通过原点移位和坐标旋转得到?瘙經的坐标系，通过坐标变换，得到以?瘙經为变量的均方误差的如上的规范形式，对于一个给定J≠Jmin,有

J-Jmin=∑Mk=1|vk|21λk(3.1.64)

这是超椭圆，1λk为其一个轴。J-Jmin取一个固定值所对应的?瘙經(等价于w)的所有取值称为性能表面的等高线，式(3.1.64)表明线性滤波器性能表面的等高线是超平面上的椭圆。例3.1.1有一***s(n)，它的自相关序列为rs(k)=102712|k|，被一加性白噪声所污染，噪声方差为2/3，白噪声与***不相关。被污染***x［n］作为维纳滤波器的输入，求两个系数FIR滤波器使输出***是s(n)的尽可能的恢复。解： 本题中，显然维纳滤波器的输入x(n)=s(n) v(n)，期望响应d(n)=s(n)。故

rx(k)=rs(k) rv(k)=102712|k| 23δ(n)

rxd(k)=E{x(n)d(n-k)}=rs(k)=102712|k|

由于只需要2阶滤波器设计，因此

R=1027 231027×121027×121027 23，rxd=10271027×12

代入维纳霍夫方程解得： 

wo=R-1rxd=［0.3359，0.1186］T

Jmin=σ2d-rHxdwo=1027-10271027×12T0.33590.1186=0.2240

例3.1.2设期望响应d(n)是一个AR(1)过程，参数a(1)=0.8458，激励白噪声v1(n)的方差σ21=0.27,由白噪声驱动的产生该过程的系统函数为

H1(z)=11 0.8458z-1

图3.1.5通道模型

d(n)经过了一个通信信道，信道的系统函数为H2(z)，在信道输出端加入了白噪声σ22=01，通道模型如图3.1.5所示，系统函数

H2(z)=11-0.9458z-1

信道输出x(n)=s(n) v2(n)。在接收端设计一个二系数FIR结构的维纳滤波器，目的是由x［n］恢复d［n］,并写出等高线方程［4］。解： d(n)是一个AR(1)过程，A1(z)=1 a1z-1，σ21=0.27，如例1.6.3所求,期望响应的方差为

σ2d=σ211-a21=0.271-(0.8458)2=0.9486

在x(n)=s(n) v2(n)中,s(n)是一个2阶AR(2)过程,由白噪声产生s(n)的系统函数相当于H(z)=H1(z)H2(z)，因此

A(z)=(1 0.8458z-1)(1-0.9458z-1)=1-0.1z-1-0.8z-2

2阶AR(2)过程的参数为： a2,1=-0.1,a2,2=-0.8,方差仍为σ21=0.27。由2阶AR(2)参数，可以确定rs(k),由YuleWalker方程

rs(0)rs(1)rs(1)rs(0)a2,1a2,2=-rs(1)rs(2)

σ21=rs(0) a2,1rs(1) a2,2rs(2)

反解rs(0),rs(1)，得

rs(0)=1 a2,21-a2,2σ21［(1 a2,2)2-a22,1］=1-0.81 0.80.27［(1-0.8)2-0.12］=1

rs(1)=-a2,1rs(0)1 a2,2=0.1×11-0.8=0.5

由上确定s(n)的自相关矩阵为Rs=10.50.51，进而有

Rx=Rs σ22I=10.50.51 1001×0.1=1.10.50.51.1

接下来，求rxd(-k)

rxd(-k)=E［x(n-k)d(n)］

把s(n)-0.9458s(n-1)=d(n)和x(n)=s(n) v2(n)代入上式，得

rxd(-k)=rs(k)-0.9458rs(k-1)

故

rxd(0)=rs(0)-0.9458×rs(-1)=0.5272

rxd(-1)=rs(1)-0.9458×rs(0)=-0.4458

rxd=0.5272-0.4458

代入维纳霍夫方程解得权系数为

w0=R-1xrxd=0.8368-0.7853

小均方误差为

Jmin=σ2d-rHxdw0=0.9486-［0.5272,-0.4458］0.8360-0.7853=0.1579

对于任意取的权系数,性能表面为

J(w0,w1)=σ2d-wHrxd-rHxdw wHRxw=σ2d-2wTrxd wTRxw

=0.9486-2［0.5272,-0.4458］w0w1 ［w0,w1］1.10.50.51.1w0w1

=0.9486-1.0544w0 0.8916w1 w0w1 1.1(w20 w21)

为求规范化性能表面，解|R-λI|=0，即

1.1-λ0.50.51.1-λ=0(1.1-λ)2-(0.5)2=0

得到两个特征值分别为： λ1=1.6，λ2=0.6，规范化性能表面为

J(v1,v2)=Jmin 1.6v21 0.6v22

对于给定的一个均方误差值，性能表面的等高线由如下椭圆方程描述

1=v21(J-Jmin)λ1 v22(J-Jmin)λ2

这是一个椭圆，主轴J-Jminλ212，副轴J-Jminλ112。

3.1.5IIR维纳滤波器考虑维纳霍夫方程在IIR滤波器时的情况，式(3.1.40)是针对非因果IIR滤波器的一般方程，可以直接转换成z变换关系式。为了简单，先讨论无因果性要求的一般的IIR滤波器的设计式。对IIR情况，我们仅考虑实***和实滤波器系数的情况。在非因果条件下，式(3.1.40)重写为

∑∞i=-∞woirx(i-k)=rxd(-k)k=-∞,…,-1,0,1,…，∞(3.1.65)

注意到式(3.1.65)左侧是两个序列w(k)=wok和rx(k)的卷积表达式，两边取z变换，并由rdx(k)=rxd(-k)，得

W(z)Sx(z)=Sdx(z)(3.1.66)

或

W(z)=Sdx(z)Sx(z)(3.1.67)

这里，系统函数W(z)是滤波器权系数序列w(k)=wok的z变换，Sx(z)是rx(k)的z变换，Sdx(z)是rdx(k)的z变换。小均方误差为

Jmin=σ2d-∑∞l=-∞wolrdx(l)(3.1.68)

例3.1.3有一***s(n)，它的自相关序列为rs(k)=102712|k|，被一加性白噪声所污染，噪声方差为2/3，噪声和***不相关，被污染***x(n)作为维纳滤波器的输入，求IIR滤波器使输出***是s(n)的尽可能的恢复。解： 本题中取，x(n)=s(n) v(n)，d(n)=s(n)。显然

rx(k)=rs(k) rv(k)=102712|k| 23δ(n)

rdx(k)=E{x(n-k)d(n)}=rs(k)=102712|k|

如上两式直接取z变换，得

Sx(z)=5/181-12z-11-12z 23=20-6z-6z-1181-12z-11-12z

Sdx(z)=5/181-12z-11-12z

将其代入式(3.1.67)，得

W(z)=Sdx(z)Sx(z)=520-6z-6z-1=5181-13z-11-13z

求W(z)的反z变换得到

wok=51613|k|

小均方误差

Jmin=σ2d-∑∞l=-∞wolrdx(l)=1027-∑∞l=-∞51613|l|102712|l|=524≈0.2083

从滤波器输入的噪声功率为2/3，下降到滤波器输出的误差功率为5/24。现在考虑因果IIR维纳滤波器设计。它的推导比非因果情况复杂一些，这里先给出结果。因果IIR维纳滤波器的系统函数为

W(z)=1S x(z)Sdx(z)S-x(z) (3.1.69)

上式中，S x(z)是由Sx(z)中位于单位圆内的极点和零点组成； S-x(z)是由Sx(z)中位于单位圆外的极点和零点组成； Sdx(z)S-x(z) 是对应于Sdx(z)S-x(z)的反变换中的因果序列部分的z变换。小均方误差为

Jmin=σ2d-∑∞l=0wolrdx(l)(3.1.70)

下面通过一个白化滤波器导出因果IIR维纳滤波器的结果。一个规则随机过程可以通过一个白化滤波器产生其新息表示(白噪声)，因此，将因果IIR维纳滤波器分成两步，步将输入***白化，将新息作为维纳滤波器的输入对期望响应进行估计，如图3.1.6所示。

图3.1.6因果IIR维纳滤波器的分级形式

在1.6.1节的谱分解定理指出，一个实规则随机***的功率谱可以分解为

S(z)=σ2Q(z)Q(1/z)(3.1.71)

通过一个系统函数为Γ(z)=1/Q(z)的白化滤波器，输出其新息序列，这里，为了表示方便，定义

1S x(z)=1σ2Q(z)(3.1.72)

为白化滤波器的系统函数，由此产生的新息序列是方差为1的白噪声。先求新息作为输入的IIR维纳滤波器的单位抽样响应h2(n)，因为

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-∑∞k=0h2(k)v(n-k)(3.1.73)

利用正交原理

E［v(n-l)e(n)］=E［v(n-l)d(n)］-Ev(n-l)∑∞k=0h2(k)v(n-k)=0l=0,1,…,∞ (3.1.74)

由于v(n)是方差为1的白噪声，上式整理为

rdv(l)=∑∞k=0h2(k)δ(k-l)=h2(l)l≥0(3.1.75)

由于v(n)是中间量，需要将rdv(l)进一步表示为

rdv(l)=E［d(n)v(n-l)］=E∑∞k=0γ(k)x(n-l-k)d(n)

=∑∞k=0γ(k)rdx(l k)=∑-∞m=0γ(-m)rdx(l-m)=γ(-l)*rdx(l)(3.1.76)

上式中γ(k)是白化滤波器的单位抽样响应，上式两侧取z变换为

Sdv(z)=1σ2Q(1/z)Sdx(z)=Sdx(z)S-x(z)(3.1.77)

注意到h2(l)只取rdv(l)的因果部分，因此

H2(z)=［Sdv(z)］ =1σ2Q(1/z)Sdx(z) =Sdx(z)S-x(z)

终的因果IIR维纳滤波器是H2(z)与白化滤波器的级联，因此因果IIR维纳滤波器的系统函数为式(3.1.69)。例3.1.4用因果IIR滤波器实现例3.1.3的相同问题。解： 由

Sx(z)=20-6z-6z-1181-12z-11-12z=1-13z-11-13z1-12z-11-12z

得到

S x(z)=1-13z-11-12z-1，S-x(z)=1-13z1-12z

另外，令

Γ(z)=Sdx(z)S-x(z)=5181-12z-11-13z=16z-11-12z-1 1/31-13z

由反变换得

γ(n)=1612n-1u(n-1) 1313-nu(-n)

上式中的u(n)代表阶跃序列。取γ(n)的因果部分为γ (n)=1312nu(n)，因此

［Γ(z)］ =Sdx(z)S-x(z) =1/31-12z-1

将上式代入式(3.1.69)得： 

W(z)=1S x(z)Sdx(z)S-x(z) =1-12z-11-13z-11/31-12z-1=1/31-13z-1

取反z变换得到滤波器单位抽样响应为

wok=1313k，k≥0

Jmin=σ2d-∑∞l=0wolrdx［l］=1027-∑∞l=-∞1313|l|102712|l|=29≈0.2222

因果的IIR维纳滤波器比非因果的剩余误差要略大。注意到例3.1.3、例3.1.4和例3.1.1是同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2系数FIR维纳滤波器进行处理，得到输出小均方误差分别为： 0.2083、0.2222和0.2240。虽然非因果IIR的误差小，但是不可实现的，可实现的因果IIR和2系数FIR的误差很接近。在这个例子中，由于输入***的极点远离单位圆，故用2系数的FIR滤波器即可取得接近于IIR滤波器的性能，若输入***更复杂可能需要的FIR系数更多，但该例子给出一个直观说明，对于一个给定问题，选择适当阶数的FIR滤波器可能得到与因果IIR滤波器非常接近的性能。由于FIR滤波器不存在数值稳定性问题，容易实现和集成，所以实际中更易使用。3.1.6应用例——通信系统的线性均衡器在通信系统中，发射机发送的***通过信道传输到接收机，传输信道有不同的媒体，主要分成有线和无线两类。以无线为例，发射***通过无线信道传播，经过多径到达接收机而被接收，这些多径是由于信道中的***经反射、折射和衍射形成的。多径传播产生的接收***是由多个延迟衰落的发射***叠加而成的。因此接收机接收到的***中存在着串扰和畸变，直接进行检测会产生较大的误码。一种改善***检测性能的装置是信道均衡器，它的目标是补偿信道造成的串扰和畸变，为了叙述简单，我们采用图3.1.7的基带模型讨论均衡器的设计问题。

图3.1.7通信系统线性均衡器示意图

设发射机发送的***序列是s(n)，用一个线性时不变(LTI)滤波器模拟一个信道的传输性质(对于慢时变系统，这个LTI模型是合理的)，假定接收机和发射机用相同的采样频率，接收到的***表示为

x(n)=∑kh(k)s(n-k) v(n)

其中v(n)表示加性干扰白噪声，h(n)表示信道的单位抽样响应，为了降低加性噪声和信道传输的影响，设计一个线性滤波器作为均衡器，均衡器的单位抽样响应记为w(n)，均衡器输出为

y(n)=∑kw(k)x(n-k)

线性均衡器的设计目标是使y(n)是s(n)的尽可能精确的估计，即

y(n)=∑kw(k)x(n-k)≈s(n-Δ)

其中，Δ表示一个整数延迟量。一种设计线性均衡器的准则是小均方准则，这实际是设计一个维纳滤波器，滤波器的输入为x(n)，期望响应为d(n)=s(n-Δ)。既可以设计FIR结构的维纳滤波器，也可以设计IIR结构的维纳滤波器，并且只需要x(n)的自相关和x(n)与s(n)的互相关函数。如下以非因果IIR结构为例再进一步做说明，非因果IIR结构可以取得理论上好的结果。非因果IIR型维纳滤波器的系统函数为

W(z)=Sdx(z)Sx(z)

容易求得

Sdx(z)=H1zSs(z)z-Δ

Sx(z)=H(z)H1zSs(z) σ2v

因此，系统函数进一步写为

W(z)=H1zSs(z)z-ΔH(z)H1zSs(z) σ2v(3.1.78)

频率响应为

W(ejω)=H(e-jω)Ss(ω)e-jωΔ|H(ejω)|2Ss(ω) σ2v(3.1.79)

由以上两式可以看到，一般情况下，维纳滤波器的频率响应与发射***的功率谱和信道的频率响应有关。讨论两个特例(1) 加性噪声不存在的情况，即σ2v=0，线性均衡器的系统函数简化为

W(z)=z-ΔH(z)(3.1.80)

此时，线性均衡器是信道模型的逆系统。y(n)=s(n-Δ)达到理想均衡。(2) 发射***是方差为1的白噪声，均衡器的系统函数简化为

W(z)=H1zz-ΔH(z)H1z σ2v(3.1.81)

此时，得到的均衡器是所有线性系统中，使y(n)与s(n-Δ)均方误差小的系统，但达不到理想均衡条件y(n)=s(n-Δ)。在实际系统中，信道性质可能是时变的，可以通过自适应滤波技术达到线性均衡和跟踪信道的时变性，有关用自适应滤波算法实现自适应均衡器的讨论见第5章。*3.2阵列波束形成与维纳滤波本节介绍波束形成的基本原理，可以看到，波束形成是维纳滤波器理论在空间阵列***处理中的应用形式。本节通过对比，将来源于时间***处理的许多方法方便地移植到空间***处理领域。3.2.1阵列波束形成基础知识波束形成的目的就是从天线阵列接收到的***来重构出源***。要准确地重构出源***，一般来说要注意到两个方面： 一是增加期望***在接收***中的贡献，即要将天线阵列方向图的主瓣对准期望***的来波方向； 二是抑制干扰***在接收***中的作用，即尽可能在干扰来波方向形成很深的零点。阵列波束形成的示意图如图3.2.1所示。

图3.2.1波束形成的示意图

波束形成的基本思想就是将各阵元的输出***进行加权求和，使阵列波束在期望方向上形成峰值，在干扰方向上形成零点。1. 基本假设***通过无线信道的传输情况相当复杂，其严格的数学模型的建立需要对信道进行完整地描述，但是这样处理问题往往非常复杂，不利于考查问题的实质。为了得到比较简洁的数学模型，做了以下假设。关于天线阵列的假设天线阵列由位于空间已知坐标处的无源阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接收特性仅与其位置有关而与尺寸无关，阵元本身尺寸大小为零，即可等效成一个点，并且阵元都是全向阵元，增益相等，都为0dB，相互之间的互耦忽略不计。阵元接收***时将产生噪声，假设其为加性高斯白噪声，各阵元上的噪声相互统计***，且噪声与***统计***。关于***源的假设假设空间***的传播介质是均匀且各向同性，电磁波在介质中将按直线传播。另外，本节中，我们只考察阵列处于空间***源辐射的远场中的情况，因此***到达阵列时可以看作为一束平行的平面波，***到达阵列各阵元的不同延时仅由阵列的几何结构和***的来波方向决定。2. 方向向量若***载波为ejωt，并以平面波形式在空间沿波束向量k的方向传播。设基准点处的***为s(t)ejωt，则与基准点相距r处的阵元接收到的***为sr(t)=s(t-tr)ejω(t-tr)，其中tr为电磁波从基准点到相距r处的阵元的传播延时。对于窄带***，***的频带远远小于载波频率，因此s(t)相对于载波ejωt变化缓慢，因此s(t-tr)≈s(t)，即***包络在各阵元上的差异可以忽略不计。由于阵列***总是变换到基带后再进行处理，因此M个阵元的阵列接收到的***可以用向量形式表示为

s(t)=［s1(t),s2(t),…,sM(t)］T=s(t)［e-jωt1,e-jωt2,…,e-jωtM］T(3.2.1)

定义方向向量为

α=［e-jωt1,e-jωt2,…,e-jωtM］T

当波长和阵列的几何结构确定时，方向向量只与到达波的空间角向量θ有关，因此方向向量又记为

α(θ)=［e-jωt1(θ),e-jωt2(θ),…,e-jωtM(θ)］T(3.2.2)

实际使用的阵列结构要求方向向量α(θ)必须与空间角向量θ一一对应，不能出现方向模糊现象。当有多个(例如P个)信源时，到达波的方向向量可以分别用α(θ1),α(θ2),…,α(θP)表示。这P个方向向量组成的矩阵

A=［α(θ1),α(θ2),…,α(θP)］(3.2.3)

称为方向矩阵或响应矩阵，它表示所有信源的方向。现在考查等距线阵。M个阵元等距离排列成一直线，阵元间距为d，位于信源的远场区域。到达波的空间角应在三维空间表示，为了便于后续讨论的方便，这里只考虑二维空间，其方向角称为波达方向(DOA)，即与阵列法线的夹角。易知等距线阵的方向向量为

α(θ)=［1,e-j2πλdsin(θ),e-j2πλ2dsin(θ),…,e-j2πλ(M-1)dsin(θ)］T(3.2.4)

若有P个信源，波达方向分别为θi(i=1,2,…,P)，则方向矩阵为

A=［α(θ1),α(θ2),…,α(θP)］

=11…1e-j2πλdsin(θ1)e-j2πλdsin(θ2)…e-j2πλdsin(θP)e-j2πλ(M-1)dsin(θ1)e-j2πλ(M-1)dsin(θ2)…e-j2πλ(M-1)dsin(θP)(3.2.5)

此方向矩阵是一个Vandermode矩阵。3. 接收***模型考查阵元数为M的平面等距线阵，阵元间距为d，P个信源，其中M>P，波达方向分别为θi(i=1,2,…,P)。以阵列的个阵元作为基准，各信源在基准点的复包络分别为s1(t),s2(t),…,sP(t)，则在第m个阵元上的接收***为

xm(t)=∑Pi=1si(t)e-j2πλ(m-1)dsinθi nm(t)(3.2.6)

其中nm(t)表示第m个阵元上的加性白噪声。将各阵元上的接收***写成向量形式

x(t)=As(t) n(t)(3.2.7)

其中

x(t)=［x1(t),x2(t),…,xM(t)］T

A=［α(θ1),α(θ2),…,α(θP)］

s(t)=［s1(t),s2(t),…,sP(t)］T

n(t)=［n1(t),n2(t),…,nM(t)］T

4. 2阶统计量阵列可以获取许多次快拍的观测数据(所谓一次快拍指一个给定时刻各阵元测量得到的数据)，为了充分利用这些数据以提高检测可靠性和参数估计的精度，可采用积累的方法，但用数据直接积累是不行的，因为s(t)随t变化，且其初相通常为均匀分布，1阶统计量(均值)为零。数据的2阶统计量由于可以消去***的随机初相，所以可反映***的特征。阵列的自相关矩阵定义为

R=E{x(t)xH(t)}=E{［As(t) n(t)］［As(t) n(t)］H}

因为***与噪声统计***，则

R=AE{s(t)sH(t)}AH E{n(t)nH(t)}=APAH σ2I(3.2.8)

其中P=E{s(t)sH(t)}为信源部分的自相关矩阵； 由于各阵元的噪声不相关，并假设强度相等，故其自相关矩阵为E{n(t)nH(t)}=σ2I。5. 阵列权向量天线阵列可以近似为一个线性系统，阵列的M个阵元相当于此系统的M个输入，阵列的输出***是M个阵元接收***的线性组合，若每个阵元的权重为wi(i=1,2,…,M)，考虑到阵列加权可以是幅度加权和相位加权的组合，各wi可能是复系数。则阵列的权向量记为

w=［w1,w2,…,wM］T

阵列的输出y(t)为

y(t)=∑Mi=1w*ixi(t)=wHx(t)

3.2.2维纳滤波与波束形成一个天线阵列可以用来接收单个***，也可以用来接收多个***，即多波束形成。这里考察简单的情形： 线阵等距，只有一个入射***，没有干扰***，并且阵元背景噪声为相互***高斯白噪声，且与******。若***的入射方向为θ，阵元个数M，阵元间距d，期望***为s(t)，则阵列方向向量为

α(θ)=1,e-j2πλdsin(θ),e-j2πλ2dsin(θ),…,e-j2πλ(M-1)dsin(θ)T(3.2.9)

若阵列权向量为w，阵列噪声n(t)，则阵列的输出为

y(t)=wHx(t)=wH(s(t)α(θ) n(t))(3.2.10)

由上式可以看出阵列输出***包含了***s(t)和噪声n(t)，波束形成的目的就是要寻求一组权值，尽可能从y(t)中恢复***s(t)。阵列输出***与期望***的误差为

e(t)=y(t)-s(t)=wHx(t)-s(t)

如果采用小均方误差准则

E{|e(t)|2}={|［wHx(t)-s(t)］|2}

易知权值wopt满足维纳霍夫方程

Rxwopt=rxd(3.2.11)

其中

Rx=E{x(t)xH(t)}=σ2sα(θ)αH(θ) σ2nI

rxd=E{x(t)s(t)}=E{s(t)(s(t)α(θ) n(t))}=E{s2(t)}α(θ)=σ2sα(θ)

由维纳滤波知

wopt=R-1xrxd

利用矩阵逆引理(见附录)，进一步简化可得

wopt=(σ2sα(θ)αH(θ) σ2nI)-1σ2sα(θ)

=［σ-2nI-σ-4nσ2sα(θ)αH(θ)/(1 Mσ-2nσ2s)］σ2sα(θ)

=σ2sσ2n-Mσ4sσ4n Mσ2nσ2sα(θ)(3.2.12)

容易看出，在这种情况下，权值的表示相当简单，就是阵列方向向量，仅仅幅度有了变化。值得注意的是，这里我们做了一系列很强的假设才得到如此简明的表达形式，如***的平稳性，相互***的等功率高斯白噪声，以及***噪声不相关等等。在实际应用中，这些假设往往不能满足，还需要其他一些处理方法。3.2.3MVDR波束形成器MVDR波束形成器即小方差无畸变响应波束形成器(minimum variance distortionless resp***e)，也称作Capon波束形成器，早是由Capon提出的。MVDR波束形成器的数学模型即在约束条件wHα(θ)=1下求解优化问题

min{J(ω)}=min［E{wHxxHw}］

其中α(θ)为前一节中所述的方向向量，w为阵列权值向量，x为阵列接收到的***(包含有噪声)，即

x(t)=As(t) n(t)

包含来自P个方向的***。约束条件wHα(θ)=1保证了在期望方向θ上有恒定的增益，极小化输出功率则尽可能地抑制了噪声和来自其他方向的干扰***。这是约束问题，利用拉格朗日乘数法求解此优化问题，得权值为

wopt=R-1xα(θ)αH(θ)R-1xα(θ)(3.2.13)

其中Rx为阵列接收***的自相关矩阵。由于权值wopt的表达式中含有Rx，在实际中可以由接收到的***估计Rx，因此，实际应用时Rx与实时接收到的数据有关，能够随着噪声和干扰的变化自适应的调整权值，极小化输出功率。由此优化问题的数学模型可知，如果阵列接收到的只有期望***和噪声，权值的方向图将在期望方向上形成一定高度的主瓣，同时尽量压低旁瓣，抑制噪声功率； 如果同时有方向性干扰存在，则权值的方向图将在干扰方向上形成一个零点，从而抑制干扰功率。MVDR波束形成器能够自适应地抑制干扰，并且同传统的波束形成器相比具有更高的空间分辨率，因此得到很广泛的应用。下面我们考查一下MVDR波束形成器和维纳滤波之间的联系。维纳滤波是极小化均方误差E{|e(t)|2}

 min{E［|e(t)|2］}=minE{|wHx(t)-s(t)|2}

=min{E［wHx(t)xH(t)w］-2E［wHx(t)s(t)］ E［s2(t)］}

=min{E［wHx(t)xH(t)w］-2E［wH(α(θ)s(t) n(t))s(t)］ E［s2(t)］}

=min{E［wHx(t)xH(t)w］-2E［wHα(θ)s2(t)］

-2E［wHn(t)s(t)］ E［s2(t)］}

我们前面假设***和噪声不相关，所以E［wHn(t)s(t)］=0。MVDR波束形成器的约束条件wHα(θ)=1，则由

min{E［|e(t)|2］}=min{E［wHx(t)xH(t)w］-E［s2(t)］}

得到的权值wopt和

min{E［wHx(t)xH(t)w］}

同解。上式即为MVDR波束形成器的优化目标函数。因此MVDR波束形成器实际是一个加了约束条件的维纳滤波器，由此也可进一步体会到维纳滤波器具有的广泛性意义。3.3线性预测线性预测是维纳滤波器的一种特殊类型，将特殊的输入向量和期望响应代入维纳霍夫方程，得到线性预测的解。线性预测分为前向预测和后向预测两种情况，将会发现解前向线性预测系数的方程与解AR模型系数的方程是完全等价的。通过讨论前向和后向线性预测滤波器结构，导出快速算法： LevinsonDurbin递推算法，用于快速求解线性预测或AR模型问题。通过LevinsonDurbin递推算法也导出了一种重要的滤波器结构，即格型滤波器。本节如不加特别说明，均指一步预测。3.3.1前向线性预测由{x(n-i)}Mi=1张成的空间记为Xn-1,在Xn-1中预测x(n)的值，这是一步前向预测问题。在所有可能的线性预测器中，存在一个使预测误差的均方值小的预测器，称为前向线性预测，设预测器的系数为wf,1,wf,2,…，wf,M。记预测为

x^(n|Xn-1)=∑Mk=1w*f,kx(n-k)(3.3.1)

显然，前向线性预测相当于一个维纳滤波器，对应于维纳滤波的术语，期望响应为

d(n)=x(n)(3.3.2)

预测误差为

fM(n)=x(n)-x^(n|Xn-1)(3.3.3)

小预测误差功率为

pM=E［|fM(n)|2］(3.3.4)

为使用维纳滤波器的结论，各变量和参数分别描述如下，输入向量为

x(n-1)=［x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)］T(3.3.5)

自相关矩阵为

Rx=E［x(n-1)xH(n-1)］=E［x(n)xH(n)］(3.3.6)

式(3.3.6)的第二个等号成立是假定了输入***是平稳的。输入***与期望响应的互相关向量为

rxd=E［x(n-1)x*(n)］=rx(-1)rx(-2)rx(-M)=r(3.3.7)

相应的求解前向线性预测系数的维纳霍夫方程为

Rxwf=r(3.3.8)

这里，wf=［wf,1,wf,2,…,wf,M］T，注意到，这个方程与求解AR模型系数的YuleWalker方程是一致的，只是系数相差一个负号。当采用预测系数时，预测误差均方值达到小，即小预测误差功率为

pM=rx(0)-rHwf(3.3.9)

前向预测和预测误差输出可用图3.3.1表示。

图3.3.1前向线性预测器及预测误差输出

1. 前向线性预测误差滤波器如果将预测误差作为一个滤波器的输出，由输入x(n)到输出fM(n)构成前向线性预测误差滤波器，相应的滤波器输入输出关系表示为

fM(n)=x(n)-∑Mk=1w*f，kx(n-k)

=∑Mk=0a*M,kx(n-k)=aHMxM 1(n)(3.3.10)

这里，相应的前向线性预测误差滤波器系数aM,k与预测器系数wf,k的关系为

aM,k=1，k=0

-wf,k，k=1,2,…，M(3.3.11)

并使用向量符号为

aM=［1,aM,1,aM,2,…,aM,M］T (3.3.12)

xM 1(n)=［x(n),x(n-1),…,x(n-M 1),x(n-M)］T

2. 增广维纳霍夫方程将前向预测的维纳霍夫方程式(3.3.8)和预测误差功率pM公式(3.3.9)写在一起,有

rx(0)rHrRx1-wf=pM0(3.3.13)

或等价为

RM 1aM=pM0(3.3.14)

式(3.3.13)或式(3.3.14)是线性预测的增广维纳霍夫方程，从增广方程看，前向线性预测误差滤波器和AR模型所服从的方程组也是一致的。3. 前向线性预测误差滤波器与AR模型的关系前文已经提到，在已知一组自相关序列值{rx(k),k=0,…,M}的条件下，前向线性预测误差滤波器和AR模型的求解方程是一致的。为了便于比较，将AR(M)模型的差分方程表达式写为如下形式

∑Mk=0a*kx(n-k)=v(n)(3.3.15)

比较式(3.3.10)和式(3.3.15)发现，AR模型与前向线性预测误差滤波器满足相同的方程(但等号左右两侧内容是相互调换的)，只需要进行如下的对应关系

a*ka*M,k(3.3.16)

v(n)fM(n)(3.3.17)

注意，这种对应只是数学形式的对应，从物理意义上，前向线性预测误差是分析器，即x(n)是输入***，通过滤波器产生输出fM(n)； AR模型是合成器，v(n)是激励***，通过系统产生合成的***x(n)。两者分别用于解决不同的问题，但遵从相同的数学关系。因此，在已知一组自相关序列值{rx(k),k=0,…,M}的条件下，两者的求解过程和所求的解相同，即两者的解等价。3.3.2后向线性预测初看起来，后向预测似乎没有实质用处，但其可与前向预测构成互补结构，从而得到有效的系统结构。由{x(n-i)}M-1i=0构成的空间Xn预测x(n-M),称为一步后向预测，简称后向预测。后向线性预测器系数记为wb,1,wb,2,…，wb,M,预测值记为

x^(n-M|Xn)=∑Mk=1w*b,kx(n-k 1)(3.3.18)

与前向预测类似，后向线性预测器也是维纳滤波器的特殊类型，对应于维纳滤波器的术语，分别有期望响应为

d(n)=x(n-M)(3.3.19)

预测误差为

bM(n)=x(n-M)-x^(n-M|Xn)(3.3.20)

预测误差功率为

pM=E［|bM(n)|2］(3.3.21)

与标准维纳滤波器相比，后向预测器的有关向量分别写为，输入向量

x(n)=［x(n),x(n-1),…,x(n-M 1)］T

自相关矩阵为

Rx=E［x(n)xH(n)］

互相关向量为

rxd=E［x(n)x*(n-M)］=［r(M),r(M-1),…,r(1)］T=rB*

这里上标符号B指反向排序。求后向预测器系数的维纳霍夫方程为

Rxwb=rB*(3.3.22)

这里，wb=［wb,1,wb,2,…，wb,M］T。预测误差功率为

pM=r(0)-rBTwb(3.3.23)

可以证明(留作习题)，前向和后向预测系数之间满足如下关系

wB*b=wf(3.3.24)

或写成分量形式如下

w*b,M-k 1=wf,kk=1,2,…,M(3.3.25)

wb,k=w*f,M-k 1k=1,2,…,M(3.3.26)

由此也可证明前向线性预测误差功率与后向线性预测误差功率也相等，因此都用了同一个符号pM表示。1. 后向预测误差滤波器与前向预测类似，定义后向预测误差滤波器

bM(n)=x(n-M)-∑Mk=1w*bkx(n-k 1)

=∑Mk=0C*M,kx(n-k)(3.3.27)

这里

C*M,k=-w*b,k 1，k=0,1,…,M-1

1，k=M

容易验证

CM,k=a*M,M-kk=0,…，M(3.3.28)

故

bM(n)=∑Mk=0aM,M-kx(n-k)=aBTMxM 1(n)(3.3.29)

2. 增广维纳霍夫方程后向预测问题也可以写成一个增广方程为

RxrB*rBTrx(0)-wb1=0pM(3.3.30)

或

RM 1aB*M=0pM(3.3.31)

3.3.3LevinsonDurbin算法在实际应用中，不管是解AR模型问题或解线性预测问题，都需要求解增广的YuleWalker方程(或线性预测的增广WienerHopf方程)，但实际中，往往并不知道模型或预测的好阶数。一些学者研究了阶数的确定准则； 另一种方法就是对一个范围内的若干阶数分别进行求解，当预测误差不随阶数增加而明显减少时，就可以得到相应的模型阶。分别求解若干阶的增广YuleWalker方程，是比较费时的。用高斯消元法解一个M阶方程需要O(M3)的运算量，随着M增加，运算量增加很快。一种好的方法是： 如果已知M-1阶的系数和小均方误差，通过一个简单的递推关系得到M阶的系数与均方误差值，这就是LevinsonDurbin递推算法。LevinsonDurbin递推算法实际是利用相关矩阵R的Toeplitz性质，由Toeplitz性得到了自相关矩阵的增广形式，再利用前向和后向预测的增广YuleWalker方程的结构，导出了由m-1阶的解am-1,pm-1递推求解am,pm的快速算法。如下推导这个算法。从m-1阶出发，对前向预测有增广方程

Rmam-1=pm-10m-1(3.3.32)

注意，为了推导过程清晰，自相关矩阵Rm的下标表示m×m增广矩阵。将式(3.3.32)的系数矩阵增加阶数，将系数自相关矩阵增广为(m 1)×(m 1)矩阵，为保持方程成立，系数向量尾部增加一个0，得到

RmrB*mrBTmrx(0)am-10=pm-10m-1rBTmam-1=Δpm-10m-1Δm-1(3.3.33)

这里Δm-1只是引入的一个缩写符号，即

Δm-1=rBTmam-1=∑m-1=0rx(-m)am-1,(3.3.34)

实际上Δm-1有其明确的物理意义，它的物理意义稍后再讨论。类似地，后向m-1阶预测的增广方程为

RmaB*m-1=0m-1pm-1(3.3.35)

同样对式(3.3.35)的系数矩阵做1阶增广,得如下方程

rx(0)rHmrmRm0aB*m-1=rHmaB*m-10m-1pm-1=Δ*m-10m-1pm-1(3.3.36)

观察式(3.3.33)和式(3.3.36)发现，它们都是以Rm 1为系数矩阵的方程，为了与m阶前向线性预测的增广方程进行比较，构造一个方程式为： 式(3.3.33) 式(3.3.36)×km，即

Rm 1am-10 km0aB*m-1=pm-10m-1Δm-1 kmΔ*m-10m-1pm-1(3.3.37)

式(3.3.37)中，km是一个自由参数。现在可以比较式(3.3.37)和m阶的前向预测的增广方程，为了比较方便，将m阶的前向预测的增广方程写在如下

Rm 1am=pm0m(3.3.38)

比较式(3.3.37)和式(3.3.38)发现，如果能够确定km的值，使式(3.3.37)和式(3.3.38)两式等价，即式(3.3.37)和式(3.3.38)方程两侧的各向量相等，也就是

am=am-10 km0aB*m-1(3.3.39)

和

pm0m=pm-10m-1Δm-1 kmΔ*m-10m-1pm-1(3.3.40)

是有解的。由于式(3.3.37)和式(3.3.38)的系数都是Rm 1，如果式(3.3.39)和式(3.3.40)有解，那么由式(3.3.39)就得到预测滤波系数的递推公式，式(3.3.39)可以写成标量形式为

am,=am-1, kma*m-1,m-=0,1,…，m(3.3.41)

在使用上式时，应注意到am-1,m=0和am-1,0=1。解式(3.3.40)，确定km参数和pm的公式，注意到式(3.3.40)中间m-2行恒为零，因此只有如下两个方程

pm=pm-1 kmΔ*m-1

0=Δm-1 kmpm-1

解之得到

km=-Δm-1pm-1(3.3.42)

pm=pm-1(1-|km|2)(3.3.43)

可以看到，只要按式(3.3.42)取km的值，就使式(3.3.39)和式(3.3.40)等式成立，由式(3.3.41)和式(3.3.43)得到由am-1,pm-1递推求解am,pm的公式。不难验证，与式(3.3.39)对应的另一个形式的递推公式是： 

aB*m-1=0aB*m-1 k*mam-10(3.3.44)

或写成单项的形式为

a*m,m-=a*m-1,m- k*mam-1,(3.3.45)

为了更全面理解LevinsonDurbin算法，对几个相关问题作一些更详细地讨论。1. Δm-1和km的解释在上述的推导过程中，Δm-1和km是在推导过程中引入的参数，其中Δm-1由式(3.3.34)定义，km由式(3.3.42)可以求解，其实这两个参数有明确的物理意义，可以证明(留作习题)

Δm-1=E［bm-1(n-1)f*m-1(n)］(3.3.46)

称为偏相关系数。而

km=-E［bm-1(n-1)f*m-1(n)］E［|fm-1(n)|2］

=-E［bm-1(n-1)f*m-1(n)］E［|fm-1(n)|2］12E［|bm-1(n-1)|2］12(3.3.47)

称为反射系数，由施瓦茨不等式知，|km|≤1。2. LevinsonDurbin算法小结目的是由m-1阶的解am-1,pm-1，递推求解am,pm。需进行如下计算(1)  Δm-1=rBTmam-1=∑m-1=0rx(-m)am-1,(2) km=-Δm-1pm-1(3) am,=am-1, kma*m-1,m-=0,1,…，m(4) pm=pm-1(1-|km|2)如果需要初始时从阶开始进行递推，需要确定其初始条件。3. LevinsonDurbin算法初始化条件根据预测误差滤波器的定义，可以得到如下一组初始条件。

f0(n)=b0(n)=x(n)p0=rx(0)Δ0=E［b0(n-1)f*0(n)］=E［x(n-1)x*(n)］=r*x(1)a0,0=1(3.3.48)

注意到上式中，因为零阶预测的全部预测系数为零，因此预测误差等于***本身，由此导出各初始值。如果用高斯消元法直接求解一个M阶的预测器系数，所需运算量为O(M3)，用LevinsonDurbin算法为O(M2)。但是LevinsonDurbin算法可以得到从1阶到M阶的各阶系数和小均方误差值。由LevinsonDurbin算法的4个计算公式可以看到，如果给出随机***自相关函数的M 1个值{rx(0),rx(1),…,rx(M)}，递推得到各阶反射系数{km,m=1,2,…，M}和各阶预测误差滤波器系数{am,k,m=1,…，M,k=1,…，m-1,m}，终确定了第M阶系数，{aM,k,k=0,1,2,…，M}。进一步注意到，在每增加1阶的递推过程中，除计算Δm-1外，其他参数计算不需要自相关函数的值，如果可以用其他方法获得反射系数，仅由M个反射系数km，可以递推得到M阶预测误差滤波器的系数。例3.3.1写出实***的用km表示的LevinsonDurbin算法前3阶的系数递推公式。解： 由a0,0=1作为初始条件，各阶系数的递推公式为

1阶： a1,1=k1

2阶： a2,1=a1,1 k2a1,1=k1 k2k1a2,2=k2

3阶： a3,1=a2,1 k3a2,2=k1 k2k1 k3k2a3,2=a2,2 k3a2,1=k2 k3(k1 k2k1)a3,3=k3

例3.3.2设随机***是满足1阶AR模型的，即满足x(n)=-a1x(n-1) v(n)，其中v(n)是方差为σ2v的白噪声，用LevinsonDurbin算法求解对x(n)的各阶线性预测误差滤波器的系数。解： 由例1.6.3已求得x(n)的自相关序列为

rx(k)=σ2v1-a21(-a1)|k|

用LevinsonDurbin算法可以获得各阶预测误差滤波器的系数。初始的零阶预测误差滤波器的参数为

a0,0=1，p0=rx(0)=σ2v1-a21，Δ0=rx(1)=-a1σ2v1-a21

1阶参数为

k1=-Δ0p0=-rx(1)rx(0)=a1

a1,0=1

a1,1=k1=a1

p1=p0(1-|k1|2)=σ2v

2阶参数为

Δ1=rx(2) a1,1rx(1)=0

k2=0

p2=p1=σ2v

a2,0=1，a2,1=a1,1=a1，a2,2=0

类似地，容易验证M阶预测误差滤波器系数为

aM,0=1，aM,1=a1

aM,k=0，k>1

对于1阶AR模型，只需要1阶线性预测器可以达到使预测误差为白噪声，且预测误差功率为σ2v，更高阶预测不能改善预测性能，这个结论可以推广到任意阶AR模型，即对于AR(p)模型产生的***，只需要p阶预测，更高阶预测不再改善预测性能。4. 反LevinsonDurbin算***如上所述，由M个反射系数{km,m=1,2,…，M}，可以递推得到M阶预测误差滤波器的系数。反射系数km是一个重要的量，下节将看到，由反射系数可以构成预测误差滤波器另一种规范的实现结构： 格型结构。这里，讨论一个反问题，如果给出了预测误差滤波器的M阶系数，{aM,k，k=0,1,2,…，M}，也可以递推得到各阶反射系数km。将式(3.3.41)和(3.3.45)联立，得到如下联立方程

am,k=am-1,k kma*m-1,m-k

a*m,m-k=a*m-1,m-k kmam-1,k(3.3.49)

且注意到，在式(3.3.41)中，取k=m，并利用am-1,m=0和am-1,0=1，得到

km=am,m(3.3.50)

将式(3.3.50)代入式(3.3.49),以am-1,k为未知量，解得

am-1,k=am,k-am,ma*m,m-k1-|am,m|2k=0,1,…，m-1(3.3.51)

由此得到km-1=am-1,m-1。由m=M开始，连续用式(3.3.50)和式(3.3.51)，每次使m减1，依次得到kM,kM-1,…,k1。这个过程称为后向LevinsonDurbin算法，它是由M阶预测误差滤波器系数{aM,k，k=0,1,2,…，M}，递推得到各阶反射系数kM,kM-1,…,k1。3.3.4格型预测误差滤波器由m阶前向预测误差滤波器的输出fm(n)=aHmxm 1(n)，和m阶后向预测误差滤波器输出bm(n)=aBTmxm 1(n)，利用LevinsonDurbin递推公式，整理得到

fm(n)=fm-1(n) k*mbm-1(n-1)(3.3.52)

bm(n)=bm-1(n-1) kmfm-1(n) (3.3.53)

注意到

bm-1(n-1)=Z-1［bm-1(n)］ (3.3.54)

表示后向预测误差的1阶延迟，并且注意到0阶预测误差滤波器输出为

f0(n)=b0(n)=x(n) (3.3.55)

由式(3.3.52)~式(3.3.55)得到格型预测误差滤波器结构如图3.3.2所示。图3.3.2(a)是1阶格型模块，实现了式(3.3.52)和式(3.3.53)的运算关系，通过M阶级联，同时实现了M阶前向预测误差和后向预测误差滤波器，第m级格型单元的反射系数为km。

图3.3.2预测误差滤波器的格型结构

如下简单证明前向预测误差滤波器的递推关系式(3.3.52),后向预测误差滤波器的递推关系式(3.3.53)的证明很相似，此处从略。由于

fm(n)=∑mk=0a*m,kx(n-k)

bm(n)=∑mk=0am,m-kx(n-k)

在如上第1式代入LevinsonDurbin递推公式(3.3.41)得到

fm(n)=∑mk=0a*m,kx(n-k)=∑mk=0(am-1,k kma*m-1,m-k)*x(n-k)

=∑mk=0(am-1,k)*x(n-k) k*m∑mk=0am-1,m-kx(n-k)

利用am-1,m=0，代入上式得到

fm(n)=∑m-1k=0a*m-1,kx(n-k) k*m∑mk=1am-1,m-kx(n-k)

=∑m-1k=0a*m-1,kx(n-k) k*m∑m-1k=0am-1,m-1-kx(n-1-k)

=fm-1(n) k*mbm-1(n-1)

预测误差滤波器的格型结构实现有几个明确的特点： (1) 模块化结构，格型滤波器的每一级结构完全相同，只有的参数即反射系数的取值不同，这利于硬件实现时模块的复用； (2) 增加阶数后不改变前级的参数，对于格型实现，由M阶增加到M 1阶只需要在后增加一个反射系数为kM 1模块，不需要改变前M级的参数； (3) 格型结构可以同时计算前向和后向预测误差。例3.3.3一个WSS，已知它的4个自相关值分别为

rx(0)=2,rx(1)=1,rx(2)=1，rx(3)=0.5

求它的3阶前向预测误差滤波器的格型结构和横向结构的参数，分别画出结构图。解： 用LevinsonDurbin递推算法，初始条件： p0=rx(0)=2，Δ0=rx(1)=1，a0,0=1第1阶递推： 

k1=-Δ0p0=-12，p1=p0(1-k21)=1.5

a1,0=1

a1,1=a0,1 k1a0,0=k1=-1/2

第2阶递推： 

Δ1=rx(2) a1,1rx(1)=1/2

k2=-Δ1p1=-13

p2=p1(1-k22)=4/3

a2,0=1

a2,1=a1,1 k2a1,1=-1/3

a2,2=k2=-1/3

第3阶递推： 

Δ2=rx(3) a2,1rx(2) a2,2rx(1)=-1/6

k3=-Δ2p2=18

p3=p2(1-k23)=21/16

a3,0=1

a3,1=a2,1 k3a2,2=-3/8

a3,2=a2,2 k3a2,1=-3/8

a3,3=k3=1/8

由以上递推的参数，分别画出横向和格型结构图如图3.3.3所示。

图3.3.3横向与格型滤波器结构

3.3.5预测误差滤波器的性质预测误差滤波器有一组性质，由这些性质可能导出一些有用的结论。性质1m阶前向预测误差滤波器系统函数和m阶后向预测误差滤波器系统函数之间满足

Hb,m(z)=z-mH*f,m(z-1)(3.3.56)

m阶前向预测误差滤波器系统函数满足递推关系式

Hf,m(z)=Hf,m-1(z) k*mz-1Hb,m-1(z)(3.3.57)

这里Hf,m(z)是m阶前向预测误差滤波器系统函数，Hb,m(z)是m阶后向预测误差滤波器系统函数。由式(3.3.10)可得Hf,m(z)的表达式为

Hf,m(z)=1 ∑mk=1am,kz-k(3.3.58)

利用式(3.3.58)直接可以证明式(3.3.56)，将LevinsonDurbin递推式(3.3.41)代入式(3.3.58)，直接可以证明式(3.3.57)，推导过程类似于式(3.3.52)的证明，证明的详细步骤留作习题。性质2前向预测误差滤波器是小相位的，后向预测误差滤波器是相位的。如果各阶反射系数|km|<1，对应有|zm,i|<1，这里zm,i表示m阶前向预测误差滤波器的第i个零点。用数学归纳法来证明性质2，为简单假设滤波器系数是实的。对1阶前向预测误差滤波器，由Hf,1(z)=1 k1z-1，得到的零点是z1,1=k1，因此|z1,1|=|k1|<1。假设m-1阶前向预测误差滤波器的各零点都位于单位圆内，定义

Ha,m-1(z)=z-mHf,m-1(1/z)Hf,m-1(z)

显然，Ha,m-1(z)是一个全部极点在单位圆内的全通系统。设zm,i是m阶前向预测误差滤波器的零点，因此

Hf,m(zm,i)=Hf,m-1(zm,i) k*mz-1m,iHb,m-1(zm,i)=0

利用上式和式(3.3.56)得

|Ha,m-1(zm,i)|=1|km|>1

利用全通系统的一个性质： 如果全通系统Hap(z)的全部极点在单位圆内，则有

Hap(z)>1，|z|<1=1，|z|=1<1，|z|>1

由此性质，得|zm,i|<1，小相位性质得证。由式(3.3.56)得到后向预测误差滤波器的零点位于单位圆外，是相位的。性质3如果随机***是AR(p)过程，它通过p阶前向预测误差滤波器后的输出是白噪声。由AR(p)模型和p阶前向预测误差滤波器解的等价性，这个性质是显然的，由例3.3.2的推广得到该性质的证明。性质4预测误差滤波器的正交或功率关系预测误差滤波器存在许多正交和功率关系，几个较重要的关系分述如下： (1) E［fm(n)x*(n-k)］=0，1≤k≤mE［bm(n)x*(n-k)］=0，0≤k≤m-1(3.3.59)这个关系式就是滤波器的正交性原理在前向线性预测和后向线性预测的具体形式。(2)  E［fm(n)x*(n)］=［bm(n)x*(n-m)］=pm(3.3.60)式(3.3.60)可由(3.3.59)直接推出，即

E［fm(n)x*(n)］=Efm(n)x*(n)-∑mk=1am,kx*(n-k)=E［fm(n)f*m(n)］=pm

(3) E［bm(n)b*i(n)］=pm，i=m

0，i≠m(3.3.61)式(3.3.61)说明，各不同阶后向预测误差滤波器在同时刻的输出互相正交。也就是图3.3.2(b)中，底下一行的各级输出是相互正交的。(4) E［fm(n)f*i(n)］=pl，l=max(m,i)(3.3.62)前向预测误差滤波器没有与后向预测误差滤波器相同的性质，即图3.3.2(b)中，顶上一行的各级输出在同一时刻不是相互正交的。(5)  E［fi(n)f*j(n-k)］=0，1≤k≤i-j，i>j

-1≥k≥i-j,i<j(3.3.63)E［bi(n)b*j(n-k)］=0，0≤k≤i-j-1,i>j

0≥k≥i-j 1,i<j(3.3.64)

式(3.3.63)和式(3.3.64)给出了前向预测误差和后向预测误差在不同阶和不同时刻的正交关系，作为一个特例，对于前向预测误差，取i=n,k=i-j,j<i,即等价的i=n,j=i-k,k=1,2,…,n-1,前向预测误差关系的特例是

E［fn(n)f*n-k(n-k)］=0,k=1,2,…,n-1(3.3.65)

或写成另一种形式

E［fn(n)f*m(m)］=0,m<n(3.3.66)

这个关系式清楚地说明，m阶前向预测误差滤波器在m时刻的输出与n阶前向预测误差滤波器在n时刻的输出是正交的(当n≠m)。式(3.3.61)至式(3.3.64)的证明留作习题。性质5前向预测误差滤波器的特征表示。对自相关矩阵的特征分解公式RM 1=QΛM 1QH两边求逆矩阵得

  R-1M 1=QΛ-1M 1QH(3.3.67)

将式(3.3.67)代入前向预测的增广方程(3.3.14)，可以证明前向预测滤波器系数和预测误差功率可由自相关矩阵RM 1的特征值和特征向量表示为

aM=pM∑Mk=0q*k0λkqk(3.3.68)

pM=1∑Mk=0|qk0|2λ-1k(3.3.69)

这里qk是RM 1的第k个特征向量，qk0是qk的第1个分量。*3.4格型滤波器结构的推广上节讨论的快速算法主要针对预测和AR模型的解，格型结构则是针对预测误差滤波器，本节将快速算法和格型结构推广到几个有意义的应用中。3.4.1AR模型和全极点格型图3.3.2所示的格型滤波器结构对应着一个全零点系统，从输入到前向预测误差滤波器输出的系统函数为

A(z)=Hf,M(z)=1 ∑Mk=1a*M，kz-k

尽管AR模型参数的求解与前向预测误差滤波器系数的求解方程是一致的，但AR模型的系统函数却是全极点的，即

HAR(z)=1A(z)=11 ∑Mk=1a*M，kz-k

AR(M)模型的差分方程表示重写为

x(n) ∑Mk=1a*M,kx(n-k)=v(n)

与前向线性预测误差滤波器比较，AR模型的输入v(n)对应前向线性预测误差滤波器的输出fM(n)，AR模型的输出是x(n)，而前向线性预测误差滤波器的输入是f0(n)=x(n)，两者的输入和输出是颠倒的。从系统函数的角度理解，分别是

A(z)=Hf,M(z)=FM(z)F0(z)

和

HAR(z)=1A(z)=X(z)V(z)=F0(z)FM(z)

这里F0(z),FM(z)分别是f0(n),fM(n)的z变换。预测误差滤波器是从f0(n)起始推进到fM(n)，而AR模型相反从fM(n)起始推进到f0(n)，因此，AR模型的全极点格型是后向推进的。由式(3.3.52)得到fi(n)反方向递推的公式

fm-1(n)=fm(n)-k*mbm-1(n-1)

由此得到AR模型的全极点格型的递推公式为

v(n)=fM(n)(系统输入)

fm-1(n)=fm(n)-k*mbm-1(n-1)

bm(n)=bm-1(n-1) kmfm-1(n)

x(n)=f0(n)=b0(n)(系统输出)

由这组递推关系，画出AR模型的全极点格型结构如图3.4.1所示。全极点格型中bm(n)部分的递推关系与全零点格型是相同的，fm(n)的递推关系则是反向的。

图3.4.1AR模型的全极点格型结构

3.4.2C***sky分解作为上节预测误差滤波器的性质4中式(3.3.61)的一个应用，可以证明自相关矩阵的逆矩阵的一个有用的分解式C***sky分解。设b0(n),b1(n),…，bm(n),…，bM(n)分别代表0,1,…，M阶后向预测误差滤波器在n时刻的输出,即

bm(n)=∑mk=0am,m-kx(n-k)

将0,1,…，M各阶后向预测误差写成向量形式为

bM 1(n)=LM 1xM 1(n)(3.4.1)

这里

bM 1(n)=［b0(n),b1(n),…，bM(n)］T

xM 1(n)=［x(n),x(n-1),…,x(n-M)］T

LM 1=100…0a1,110…0a2,2a2,11…0aM,MaM,M-1aM,M-2…1(3.4.2)

由式(3.3.61)得到

DM 1=E［b(n)bH(n)］=p0p100pM(3.4.3)

另一方面，由式(3.4.1)得

DM 1=E［b(n)bH(n)］=E［LM 1x(n)xH(n)LHM 1］

=LM 1RM 1LHM 1(3.4.4)

式(3.4.4)两侧左乘L-1M 1，右乘(LHM 1)-1得到： 

RM 1=L-1M 1DM 1(LHM 1)-1(3.4.5)

式(3.4.5)两侧同求逆得

R-1M 1=LHM 1D-1M 1LM 1=(D-1/2M 1LM 1)H(D-1/2M 1LM 1) (3.4.6)

由上式得到结论，R-1M 1可以分解成一个上三角矩阵和下三角矩阵之积，这个上三角

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前言

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现代***分析和处理的应用非常广泛，不仅包括电子信息领域，而且在如生物医学工程、地质勘探、震动测量、自动控制甚至金融和社会学等众多领域都得到了深入的应用。作为一个研究领域和应用工具，现代***分析和处理已形成众多分支，研究内容深入而广泛，应用面甚广，文献资料众多。在这种情况下，为研究生课程提炼出一本全面反映现代***分析和处理的理论、算法和应用的教材是不现实的，作者主要选择了两个主题构成本书的核心内容，一是***的统计处理方法，包括***的统计模型、统计推断基础、滤波理论、谱估计和自适应滤波、高阶和循环统计，以及***的盲源分离； 二是复杂***的表示，包括***的时频分析和稀疏***表示。大致上部分内容占全书2/3，第二部分内容占全书1/3。本书的内容超出一门课程的需要，可供灵活选择，为学生留出足够的自学材料。本书可以适用于几种不同的课程安排： ①对于两个学期的课程，可选择统计部分作为一个学期，时频分析和稀疏表示作为一个学期，带星号的小节均留作自学材料； ②对于一个学期周3学时的工学硕士和博士研究生课程，除重点讲授前6章的基本内容外，再选择9、10两章的基本内容，作者在清华大学电子工程系的课程就是按这种方式安排的，其中选择的各章中带星号的小节均留做课外阅读； ③对于一个学期周2学时的课程，或选择前6章的基础部分作为入门课程，或选择后3章作为时频分析和稀疏表示的专题课程。本书各章都给出了几个需要用MATLAB仿真的习题(带*号的习题)，希望使用本书的学生能够选做其中的一些，这对于理解书中的理论和算法是非常有帮助的。作者在讲授“现代***处理”课程时，要求学生至少完成两个这样的仿真习题，并作为学期成绩的一部分，其效果是非常好的。本书是作者在清华大学电子工程系近20年讲授研究生课程所积累的成果，其中融入了作者多年科研工作的心得。本书不完全是一本新书，它是作者和陆明泉教授于2005年在清华大学出版社出版的《离散随机***处理》一书的大改版，由于新增内容和对原内容的修改都很大，以至于更适合作为一本新书出版。《离散随机***处理》一书曾获得2004—2008年度清华大学优秀教材一等奖，但毕竟十几年过去，***处理有了长足的发展，对原书的简单修订已不能反映这种发展，出版一本新书则更合适。这次新书的编著由作者单独完成，但本书第7章部分内容参考了陆明泉教授2005年原书相关章节的初稿，谨此对陆明泉教授多年的合作表示感谢。本书各章单独列出参考文献，以便读者可***选择阅读各章。共计列出超过300篇参考文献，都是作者在此次编著本书时直接参考或希望读者延伸阅读的。但本书一些材料是多年积累的结果，尽管作者努力包含对本书写作有影响的参考资料，但若有个别参考过的文献有所疏漏，仍恐难避免，若有此情况发生，作者表示歉意。许多同事和研究生对本书的出版做出了贡献，清华大学生物医学工程系胡广书教授审阅了本书的第8章和第11章，并提出许多宝贵的建议。作者的学生张馨月帮助准备了第11.6.5节的初稿，高昊和王超帮助绘制了多幅插图，在此表示感谢。感谢清华大学出版社资深编辑王一玲老师和赵凯编辑在本书出版过程中给予的帮助和支持。由于作者水平、时间和精力所限，本书会存在缺点和不足，希望读者批评指正。

作者于清华园2018年5月