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在冈道尔夫堡和剑桥召开的这两次跨学科专题讨论会上，数学家、物理学家和哲学家们对“数学是什么”这一问题进行了探讨。本书以周详的形式再现了每位与会者在讨论中所展现的风采，这些讨论既反映了其所需的思想精确性，又能顾及到非专业人士的可读性。

引言（约翰•珀金霍恩）

1 数学是一种发现还是一种发明？（蒂莫西•高尔斯）

评论（吉迪恩•罗森）

2 探索巴别数学图书馆（马库斯•杜索托伊）

评论（马克•施泰纳）

3 数学实在（约翰•珀金霍恩）

评论（玛丽•伦）

答玛丽•伦（约翰•珀金霍恩）

4 数学、大脑与物理世界（罗杰•彭罗斯）

评论（迈克尔•德特勒夫森）

5 数学的理解（彼得•利普顿）

评论（斯图尔特•夏皮罗）

6 数学中的创造和发现（玛丽•伦）

评论（迈克尔•德特勒夫森）

7 发现、发明和实在论：哥德尔和其他人关于概念实在性的观点（迈克尔•德特勒夫森）

评论（约翰•珀金霍恩）

8 数学与客观性（斯图尔特•夏皮罗）

评论（吉迪恩•罗森）

答复（斯图尔特•夏皮罗）

9 数学对象的实在性（吉迪恩•罗森）

评论（蒂莫西•高尔斯）

10 我们从数学中得到的要比赋予它的多（马克•施泰纳）

评论（马库斯•杜索托伊）

参考文献

索引

约翰•波金霍恩（John Polkinghorne），高级英帝国勋爵士（KBE），英国皇家学会院士，剑桥大学皇后学院院士和前院长。他师从狄拉克和阿卜杜斯•萨拉姆，并被选为三一学院院士。

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非数学的例子表明，当发现者对观察对象或事实不能控制时，我们通常用“发现”或“创造”来描述这一发现过程。而对象或程式具有许多可由发明者或设计者选择的特性时，那么我们就用“发明”或“创造”来描述这一对象或程式的诞生过程。由此我们也得出了对这两类过程的一些更精细但不那么重要的区别：“发现”往往比“观察”更重要，但较不易事后验证。“发明”往往比“创造”更具一般性。

公式本身是一个发现，但不同人会用不同的方式来表达它：五次方程无通解（以及相关的群论）、大魔群

在数学上，直接用“发明”这个词的情况多是指一般理论和技术的产生：微积分、复数理论、非欧几何、大多数的证明（人们往往将证明视为对象而不是过程，侧重于要证明的东西。证明的这种特点表明，当做者没有选择余地时，我们用“发现”来指称一个证明过程；如果可以有多种选择的话，就用“发明”来指称）

数学的某些部分是不可预料的，而一些则不同；有些的解是唯一的，另一些则有多个解；某些证明是显而易见的，而有些则需投入大量的精力。所有的这些都取决于我们如何描述数学问题的产生过程，都完全***于一个人的立场。

抽象的作品：当某个人第一次给予具体的表现方式后，这些抽象的实体才得以存在。

在数学家看来，艺术就是一种可用于挑选逻辑途径的准则。这里，我认为美感在作出这些选择的过程中扮演着重要角色。

也许数学和其他科学之间的区别就在于我们生活在这样一种自然世界里，它充当着代理角色，挑选出那些具有特定性质的东西，而正是这种特殊性使我们——作为科学家——试图理解为什么它们如此特殊并被挑选出。

人们经常是在看到由数学得到的结果比运用它之前更丰富时才体会到它的价值。

文化和历史背景也会对不同的数学发现的认可并为之激动产生影响。如：黎曼Zeta函数

数学发现的另一个关键是如何整合发现所跨越的主题。如：费马大定理

试图定量刻画什么是好的数学是注定要失败的，就像我们无法用测量来评价为什么莫扎特的音乐是如此神奇一样。

数学的可比性：

第一层可比性与人类感知的一致性有关，或者说，与不同的观察者所报告的、解释的相互连贯性有关。

第二个方面是指***实在具有性质上、层次上的丰富性。

第三个方面与前一个方面有关，指的是探索***实在时遇到的出其不意性。

数学研究是一项智力探索，这一观念的合理性因数学思维的直觉性质和在不自觉的创造性活动中所起的作用而得到强化。有些起作用的东西要比能够用计算处理的平庸概念所描述的东西更为深刻。

结论：以应有的严肃性来看待数学的特点和成就的方法不外是在承认数学实体的纯理性世界的实在这样一种形而上学的背景下所制定的最佳方法。

书籍介绍

在冈道尔夫堡和剑桥召开的这两次跨学科专题讨论会上，数学家、物理学家和哲学家们对“数学是什么”这一问题进行了探讨。本书以周详的形式再现了每位与会者在讨论中所展现的风采，这些讨论既反映了其所需的思想精确性，又能顾及到非专业人士的可读性。